图的谱唯一及相关问题研究

In this project, by threading the relationship between cospectrality and isomorphism as a main research clue, using graph theory, spectra theory and algebraic theory as a tool, and taking advantage of the spectra, the angles, the eigenvectors and the automorphism of a graph, we mainly study the problem of graphs determined by their spectra. It involves the following four related content: ①find the conditions of graphs have the same spectra; ②study spectral characterization of graphs and characterize cospectral graphs; ③research the conditions of graphs determined by their spectra and characterize these graphs;④learn the relationship between the spectral parameters and other graph combinatorial parameters.. Previous study shows that the graphs with n distinct main eigenvalues and order n may be a majority ofthe graphs which are determined by their spectra, moreover, the automorphism of these graphs is identity group. Based on this fact, the project specially focuses on the problem of cospectral and isomorphism of the graphs whose order of automorphism group is small. In order to further and contribute E. R. van Dam and W. H. Haemers' conjecture which states that almost all graphs are determined by their spectra, one goal of this project is studying whether graphs with n distinct main eigenvalue and order n are determined by their spectra. For the purpose of studying the problem of characterizing graphs with pairwise distinct eigenvalues proposed by F. Harary, another aim of the project is providing some new algebraic method for advancing spectral characterization of graphs.

本项目以研究同谱与同构的关系为主线，结合代数和组合方法，以图论、图谱理论和代数理论为工具，利用图的谱、图的角、图的特征向量、图的自同构群研究图的谱唯一（graphs determined by their spectra）问题。研究主要涉及以下4个相关内容：①图同谱条件；②研究图谱特征、刻画同谱图类；③研究谱唯一条件、刻画谱唯一图类；④研究图的谱参数与图的组合参数之间的关系。.研究表明，具有n个不同主特征值的n阶图类很可能是主要的谱唯一图类，而其自同构群为单位群。基于此，本项目特别针对自同构群较小的图类研究其同谱及同构问题：一是研究具有n个不同主特征值的n阶图的谱唯一性，为推进E.R. van Dam, W.H.Haemers猜想（几乎所有图都是谱唯一的）的研究作出贡献。二是研究F.Harary提出的问题：刻画具有不同特征值的图，为推进图谱特征的研究提供新的代数方法。

图谱理论研究兴起于20世纪50-60年代，近20-30年来得到迅猛的发展，它是图论、组合与代数的一个交叉研究领域。 图谱理论在化学、物理及计算机科学中有着广泛地应用。图的谱唯一问题是图谱理论的研究热点，其源于化学和物理中的一些实际问题，近年来得到广泛关注，有许多图类的谱唯一性都被确定了，但至今没有解决该问题的一般性方法。在本项目中，我们首先对谱唯一问题进一步深入研究，综合利用代数和组合方法确定了一些图类的谱唯一性；其次又研究了如何通过图的一些谱参数来确定其组合参数和结构特征，具体包括以下几个方面：一是解决了一些赋权图类的谱半径排序问题；二是刻画及构造了一些具有给定主特征值数目的图类；三是刻画了一些图类中的L-整谱图及Q-整谱图；四是给出了一些特殊六角系统的特征多项式及其对应的一些化学指标(如零度、能量、Estrada指标和Kekulé结构的数目等)，这些指标在化学中有着重要作用；五是刻画和构造了一些不同特征值数目较少的图类及特征值互不相同的图类；六是研究了一些图类的特殊结构属性(如H-packing数、冠运算等)与其谱属性之间的关系