脉冲延迟微分方程数值分析

Nowadays, impulsive differential equations, as a kind of model of instantaneous systems, have become a hot problem in the scientific research field. They have been applied widely in biotechnology, pharmacokinetics, economics, population dynamics, epidemiology, communication engineering, control engineering, etc. The main purpose of this project is that constuct some highly accurate numerical methods, e.g. Runge-Kutta methods, to solve impulsive delay differential equations. We shall study how the numerical discrete systems preserve some intrinsic dynamical properties, such as stability, controllability, robustness, of the original systems. Furthermore, we shall apply these numerical methods to research the dynamics of some mathematical models, which are described by impulsive delay differential equations. This project concerns on some new subjects, and the study not only riches the connotation of the numerical analysis of differential equations in theory, but also has a good application prospect in practice.

目前，脉冲微分方程- - 作为瞬动型系统的一种数学模型，是科学研究领域中的一个热门问题，它被广泛地应用于生物技术、药物动力学、经济学、种群动力学、流行病学、通讯工程、控制工程等领域。本项目的研究目的是：构造适用于求解脉冲延迟微分方程的高精度的数值方法，如Runge-Kutta方法，研究相应数值离散系统如何保持原系统的某些动力学性质，如稳定性、可控性及鲁棒性等，并利用这些数值方法来研究由脉冲延迟微分方程所描述的数学模型的相应动力特性。本项目涉及到一些新的课题，项目的研究不但在理论上能丰富微分方程数值分析的内涵，同时在实践中具有很好的应用前景。

本项目主要针对脉冲延迟微分方程、随机微分方程、偏微分方程构造高效的数值方法，详细分析数值方法保持原系统内在动力学行为的能力，并为系统的长时间数值仿真提供全局图像。具体内容包括：（1）研究了几类脉冲随机延迟微分方程正解的存在性、持久性、弱持久性和灭绝性等定性性质。对所讨论的每一个带有脉冲扰动的模型，项目组都构造了实用的数值方法进行数值模拟，验证了所构造的数值方法可以很好地体现原模型的定性性质，同时验证了理论结果的正确性；（2）构造了一类求解不等间隔的脉冲随机延迟微分方程的等距节点的 Euler 方法，并详细研究了所构造方法的均方收敛性和指数稳定性，为此类问题的数值求解的研究提供了理论基础；（3）构造了几类可以精确保持原随机微分方程某些内在结构的数值方法，并对所构造的数值方法进行详细地理论分析；（4）针对几类延迟微分方程和偏微分方程，研究了几类数值方法的分支相容性；（5）针对几类常微分方程和偏微分方程模型构造了动力学相容的非标准有限差分方法，系统地研究了这些方法保持原系统正性、单调性、有界性等行为；（6）对几类具有实际应用背景的模型进行定性分析，并建立相应的数值方法来验证其理论结果的正确性。对每一种数值方法，不仅从理论上分析其收敛性、稳定性、保结构性等，而且利用大量具有实际应用背景的例子进行仿真，验证数值方法的有效性。