量子纠缠理论中的提纯问题和相关数学的研究

Quantum-information tasks such as quantum computation and cryptography have extensive applications. Their implementation requires quantum entangled pure states as resources. However the noise and decoherence in the nature destroy the pure states, and one can only obtain mixed states in a lab. Extracting pure states from mixed state is the well-known distillability problem. It is a fundamental problem in quantum information and entanglement theory. The problem is related to many important problems in quantum information such as the transmission ability of quantum channels, the additivity of distillable entanglement measure, the activation of bound entanglement, and the characterization of multipartite quantum states, as well as the 2-decomposable map in operator algebra. The mathematical difficulty has prevented essential progress on the distillability problem in recent years. In this program, we will study the distillability problem using matrix algebra and the rank of quantum states. We will construct more distillable states systematically, in terms of the range and the product states in the kernel of quantum states. The distillability of one-copy and many-copy states will be considered. Another point of this program is to study the relation between the distillability and other mathematical and physical notions of quantum states, such as distillable entanglement measure, separability, partial transpose and genuine entanglement, and so on. We will also study quantum correlation and the distillability of multipartite states.

量子计算和保密等各种量子信息任务具有广泛的应用前景，它们需要量子纠缠纯态作为必要的量子资源。但是自然界存在噪音，所以实验室能得到的只有量子混态。如何从混态制备出纯态，即提纯问题，是量子信息和纠缠理论领域的基础问题。此问题关系到量子信道的传输能力，提纯纠缠度量的可加性，束缚纠缠的激活，多体量子态的刻画等量子信息问题，算符代数领域的二可分解映射等问题。提纯问题在数学上的困难导致了近年来对其研究以及上述问题进展缓慢。本项目将使用矩阵代数，量子态的秩等数学技术来研究提纯问题，系统性的提出更多的可提纯的量子态。研究量子态的域和0空间中的直积态和该量子态的提纯性的联系。研究单拷贝和多拷贝情况下的量子态的提纯能力的区别。另一个研究重点是提纯性和其他刻画量子态的数学物理概念的联系，包括提纯纠缠度量，可分离性，部分转置，真实纠缠等。本项目也将研究量子关联，多体量子态的提纯性。

项目的背景：量子计算和保密等各种量子信息任务具有广泛的应用前景，它们需要纠缠纯态作为必要的量子资源。由于实验室只有纠缠混态，如何从混态制备出纯态的问题称为提纯问题，是量子信息的基础问题。此问题关系到量子操作的纠缠能力，可分问题，束缚纠缠和不可扩展基，相互无偏差基，张量秩，L1范数，可局域区分双体子空间，施密特秩等量子信息问题。本项目主要在以上问题上取得了成果。 .主要研究内容：本项目发表SCI论文25篇，其中JCR一区22篇，二区3篇。第一作者16篇，非第一作者的通讯作者6篇。发表领域期刊分为以下四类。数学物理期刊包括7篇JPA，5篇QIP，2篇PRSA，共14篇；理论物理期刊包括1篇PRL和4篇PRA，共5篇；基础数学期刊包括2篇LAA； 综合性期刊包括3篇SR和1篇ENTROPY，共4篇。..重要结果：本项目的部分成果介绍如下，更多成果见报告正文。.问题和主要研究进展一：纠缠提纯问题，证明了秩4的两体量子态是单拷贝可提纯的。.问题和主要研究进展二：受控幺正操作的纠缠能力问题，定量分析了施密特秩为2和3的两体排列幺正操作的纠缠能力。.问题和主要研究进展三：多体纠缠问题，建立了多体图量子态。.问题和主要研究进展四：施密特秩问题，研究了两体量子态和它的投影态的施密特秩的关系。.问题和主要研究进展五：六维空间存在四组相互无偏差基猜想，最新进展。.问题和主要研究进展六：可分问题，给出X态为可分态的必要条件。.问题和主要研究进展七：量子比特分类问题，我们将该问题转化为一个组合数学问题并得到了解答。..关键数据及其科学意义：在提纯问题上我们将可提纯量子态的秩从3提高到了4，扩大了可提纯纠缠态的范围；在可分问题上我们从2比特扩展到了一类特殊的3比特量子态，扩大了可判断的可分态的范围；在张量秩问题上，我们对两拷贝W态从3体扩展到了6体，增加了可计算张量秩的量子态的体系数目；在L1范数问题上我们证明了该范数和NEGATIVITY在纠缠理论中地位的相似性，找到了这两个重要物理量的解释。