模拟心电波传播的计算方法

在欧美等发达国家，所有致死疾病中，心脏病近年来一直是排在第一位的，而半数以上的心脏病都跟心电波的紊乱传播有关。通过对心电波的数值模拟来研究相关心脏病的发病机理能克服许多临床和物理实验解决不了的问题。然而，由于心电波传播在时间和空间上的多尺度性质，心脏几何形状的复杂性和动态性（随着心跳而形状在不停变化），以及心肌的不均匀性和各向异性，使得运用基于无结构贴体网格的传统有限元方法和有限体积法的数值模拟效率十分不理想（离散方程用的空间网格和时间步长都得非常小，而且网格结构还要费时地频繁调整）。本课题拟设计一个基于结构网格的数值方法，来解决心电波传播的变系数和各向异性的扩散问题，以及移动界面、自由边界问题；在结构网格法的基础上,设计一个时间步长和空间网格同时自适应的方法来处理心电波传播的多尺度问题。所得算法将在高精度的同时本质上提高对心电波传播的模拟效率（在计算时间上至少要快一个数量级）。

心电波的传播可由两类模型来描述，一类是细胞尺度的微观模型，另外一类是组织或器官尺度的宏观模型。描述心电波传播的微观模型是一个围绕紧密排列心肌细胞的带间断系数的椭圆型偏微分方程界面问题。宏观模型由一组在复杂区域上的，奇异扰动的，变系数及各向异性的反应扩散方程构成。两类模型的一个共同点是区域界面或边界的几何复杂性，如心脏，心室或紧贴心脏内壁的His-Purkinje信号传导系统。我们研究的长期目标是设计一个高效、精确且稳定的数值算法来模拟在时间依赖的复杂区域如跳动的心脏上的电信号传播过程。对这样的问题，由于非结构贴体网格的生成通常会耗时太多且不容易，我们不打算采用基于非结构贴体网格的离散方法。另外，我们同时也希望本项目研究的方法可进一步应用于求解更大类的来自如计算生物学和计算流体力学等其它领域的移动界面和自由边界问题。作为本项目的最主要的研究成果，我们设计了一个基于直角结构网格的边界积分方法。该方法已同时被成功地用于求解描述心电波传播的微观模型和宏观模型。该方法将椭圆型或抛物型偏微分方程转换成第二类Fredholm边界积分方程进行快速求解。该方法通过应用基于快速傅里叶变换或几何多重网格算法的快速算法求解等价的界面问题来精确和快速计算可能（几乎）奇异或超奇异的边界积分或体积分。该方法对区域界面或边界的离散完全避免了任何非结构体网格或表面网格的生成。这个优点对移动界面和自由边界问题的求解尤为明显与重要。作为本项目的研究成果，我们还研究设计了1）一个模拟电信号在His-Purkinje心脏传导系统上传播的时间空间自适应算法；2）一个求解各向异性扩散方程的量身定制的有限点方法。