基于图论方法的关系保持问题的研究

Preserver problems are promotions of automorphism problems of classical groups. It provides an effective way for the construction of agebraic group, and is widely used in computer image, cryptography and other fields. There are many methods to define graphs to an algebra system. For example, we may define the commuting graph to an algebra system by using commutativity of elements, and the zero-divisor graph by zero- product. In this program, we will study relations preserver problems by using graph automorphisms on the related algebra systems. More specifically, we intend to study the automorphism group of the zero-divisor graphs of semisimple rings, nonlinear commutativity preserving bijective on classical algebras over arbitrary fields, the automorphism group of the commuting graphs based on the Borel subgroups of classical groups over finite fields, nonlinear orthogonality preserving bijective on semisimple rings, and give their explicit expressions.

保持问题是典型群上自同构问题的推广，它为构造代数群提供了有效途径，并且在计算机图象处理、密码学等领域有广泛的应用。一个代数系统可以用很多方式定义图。比如，用元素是否具有交换关系定义交换图；用元素是否具有乘积零的性质定义零因子图。本项目将把关系保持问题转化为图的自同构问题，从而利用图论工具进行研究。本项目的主要研究内容是：决定半单环的零因子图的自同构群、定出任意域上典型李代数上保交换的非线性可逆变换、决定有限域上典型群的Borel子群的交换图的自同构群、刻画半单环上保正交的非线性可逆变换，给出这些保持变换或图自同构的明确表达式。

自项目获批以来，项目组基于在代数系统上的保持问题、代数图的自同构问题两个方面的研究积累，按照计划给出的时间节点，针对项目提出的研究内容，综合利用‘参数’法、‘约化’法、‘划归’法和‘模拟’法，系统的研究了半单环、有限群和矩阵半群的几类关联图的自同构，以及自同构相关的两个参数——固定数和度量维数。四年来，项目组在该领域发表标注基金号的 SCI 论文12篇(含2篇已经在线发表)，其中8篇论文发表在代数学主流期刊 Communications in Algebra、Journal of Algebra and Its Application、Semigroup Forum 和 Electronic Journal of Linear Algebra 上，2篇论文发表在代数图、矩阵论方面的核心期刊 Linear and Multilinear Algebra 和 Operators and Matrices 上。总体来说，经过这四年的精心研究，计划内容基本完成。初步构建了‘基于图论方法的关系保持问题的研究’的基本框架。依托本项目，我们培养出4名副教授和1名校级人才；一支在该领域崭露头角的学术队伍正在形成。