多变量公钥密码学中的数学问题研究

Multivariate public key cryptography, based on the difficulty of equation solving problem, is one of the potential alternatives in post-quantum cryptography. We try to research the underlying mathematical problems in multivariate public key cryptosystems (MPKC), i.e., functional decomposition problem (FDP), isomorphism of polynomials (IP) and its counting problem, using the mathematical tools such as symbolic computation over finite fields and finite geometry. Specifically, we focus on the algorithms of FDP for general multivariate polynomials over finite fields and its theoretical analysis, the number of classes of FDP under nonlinear transformations and the lower bound estimation of the number of equivalence classes in IP enumeration problem. In addition, we try to consider IP using the differentiation method in the research of FDP. All these researches in this project will give us better understanding of the security of MPKC and thus help us design more secure and efficient schemes.

多变量公钥密码学是后量子密码学中基于方程组求解困难性而提出的一种公钥密码体制。本项目利用符号计算、有限几何等相关数学工具，对多变量公钥密码系统中所涉及的两个数学问题，即多变元多项式的函数分解问题与多项式同构及其计数问题，进行研究。研究内容主要包括有限域上一般多变元多项式的函数分解算法及其理论分析，函数分解在非线性变换下的等价类，对多项式同构计数问题中等价类个数下界的估计等。除此之外，我们还考虑利用函数分解中的微分方法研究多项式同构问题。对多变量密码学中这些基础数学问题的研究有助于帮助我们设计更安全更高效的多变量公钥密码系统。

本项目针对多变量公钥密码系统中涉及的一些数学问题进行了研究。目前已经完成了函数分解问题的部分研究，将整系数多变元多项式方程求解问题与函数分解问题建立起了一定的联系。并且研究了有限域上Bent函数的性质，构造了一类关于2^(k+3)个变元的三次旋转对称Bent函数；同时在具有奇素数特征的有限域上构造了一个新的多变量公钥密码方案。关于多项式同构及其计数问题的研究也在进行中。