压缩感知理论中满足可重构条件的测量矩阵研究

压缩感知理论提供了一种新的信号获取、重构方式，使得人们能以远少于经典理论所需的采样数据，精确恢复满足稀疏性的信号。压缩感知中的采样数据为原信号在特定测量矩阵上的投影，因此测量矩阵的性质对信号重构的精度有显著的影响。本项目将对满足可精确重构条件的测量矩阵进行研究，即满足什么条件的测量矩阵可确保利用稀疏重构算法便能精确恢复原信号？如何构造这样的测量矩阵？数值构造的测量矩阵的物理可实现性如何？一方面，项目将从矩阵的Restricted Isometry Constant (RIC)和矩阵相关性出发，推导满足可重构条件的紧致理论上界；另一方面，项目将利用Monte-Carlo仿真技术，推导稀疏重构精度与测量矩阵结构、维数等的关系。同时，研究过程中还将结合特定的光学器件，考虑测量矩阵的物理可实现性。项目的成果对压缩感知理论的进一步完善，及实际系统的开发均具有重要意义。

本项目围绕压缩感知理论中测量矩阵的相关问题，对测量矩阵的可重构条件、测量矩阵的性质、测量矩阵与结构及维数对重构精度的影响、测量矩阵的物理实现等进行了系统深入的研究。在深刻把握压缩感知理论研究现状及应用需求的基础上，将理论推导、数值仿真分析和物理实验有机结合，取得了如下几个方面的研究成果：. (1) 基于约束等距性质（Restricted Isometry Property, RIP）和累加互相关性建立了测量矩阵更加紧致的可重构条件，并基于累加互相关性对测量矩阵的设计进行了优化，研究结果进一步完善了压缩感知理论，对测量矩阵的设计和构造具有理论指导意义；. (2) 对一维信号和二维图像，研究了测量矩阵的结构和维数对重构精度的影响，研究结果能为压缩感知在实际应用中的参数选择、系统设计和指标分配等提供指导和依据；. (3) 结合光学成像系统中当前技术条件下可实现的物理器件，对测量矩阵的物理实现进行了研究，以Bernoulli测量矩阵为例，开展了基于DMD的测量矩阵实现物理实验和基于固定空间光调制器的动态推扫式压缩成像方案研究；实验结果验证了测量矩阵的物理可实现性和压缩成像原理，同时验证了系统设计的可实现性，如系统误差、量化精度、时间精度等，为基于压缩感知理论的信息获取系统（特别是成像系统）设计和性能分析提供了参考和依据，形成了优化环路。. 课题研究形成了关于压缩感知测量矩阵的设计、优化和实现等一系列理论成果和关键技术，研究成果进一步完善了压缩感知理论，并为压缩感知的实际应用及物理系统的构建提供了有力支撑。