一类具有记忆型约束的能控性问题

This project is addressed to a study of partial differential equations with memory and the relevant controllability problems. The local control is imposed on the controlled system. These control problems are the core of controllability theory for distributed parameter systems. Unlike the classical parabolic equation, the parabolic equation with memory in general is not null controllable. There always exists a set of initial values such that the property of the null controllability fails. We will give a characterization of the set of nontrivial initial values, which can be driven to zero. On the other hand, the approximate controllability of the partial differential equation with memory was obtained. We shall apply this result to study the approximate controllability with constraints on the memory term. In fact, the hyperbolic equation with memory can be regarded as two coupled hyperbolic equations in which one of them degenerates. The usually approximate controllability is actually a partial controllability result for hyperbolic equations.. The partial differential equation with memory has widely application in practice, which can describe the physical phenomena and laws in the fields of high energy physics and biomedical engineering. Therefore, the relevant results can gradually enrich the control theory and can provide theoretical guidance and proposal for some practical problems.

本项目将开展某些具有记忆项的偏微分方程近似能控性和零能控性问题的研究，其中，控制函数施加在局部区域上.这些问题均为分布参数系统能控性理论方面的核心问题.由于具记忆项抛物方程不零能控，因此，我们将讨论能够实现零能控的初始条件与相应系统达到目标零的终端时刻两者之间的关联，即对系统的零能控初值给予恰当的刻画.另一方面，我们将基于已有近似能控性的结果，对具有记忆型约束条件的近似能控性开展研究.若将具记忆项的双曲方程转化为双曲方程和常微分方程耦合的方程组，则具有记忆型约束的能控性问题实际是方程组的完全能控性问题.通常讨论的原近似能控性问题只是方程组的部分能控性问题. . 具记忆项的偏微分方程有着广泛的应用背景，比如可以描述高能物理及生物医学工程等领域的物理现象及规律.其能控性方面的相关结果可以更好地丰富分布参数系统的能控性理论，并为某些实际问题提供理论指导.

汪更生教授与我合作的工作是点态控制的热传导方程的时间最优控制问题。它是一种具有控制约束的能控性问题，但较之一般的能控性问题，更具有应用背景。我们主要是想搞清楚最优时间是如何依赖控制的位置的，从而得到最佳的控制位置。这个问题对于工程控制是具有较大指导意义的理论研究，有较大的难度。我们花费了近半年时间，通过不断地讨论、咨询，逐渐摸索出一条或许可行之路。目前，我们已经得到了部分有意义的结果。例如，利用分离定理、唯一延拓性以及热传导方程解的衰减性得到点态控制的热传导方程的最优时间及相应最优控制的充分必要条件。. 在该项目的支持下，我与其他合作者还完成了一篇论文，被Systems & Control Letters接收。在论文中，利用积分方程理论、倒向随机微分方程以及秩条件，建立了具有记忆项的随机微分方程精确能控的充要条件。. 总之，通过合作讨论与研究，我们取得了阶段性进展。不仅丰富了无穷维系统的控制理论，而且对工程控制具有较大的理论指导意义。