趋化模型中化学信号物质对细胞运动影响的数学研究

Chemotaxis model is an important subject and a field in biological mathematics. From the mathematical point of view, study on this model can not only solve practical problems in biology mathematics, but also promote the development of mathematical disciplines such as partial differential equation. This project is mainly to study the effect of chemical signals on the cell chemotactic movement, and to discuss the properties of solutions to some chemotaxis models with several chemical signals: Firstly, taking account of different responses of cells toward chemical attractive signal and chemical repulsive signal, we make a special effort to study the well-posedness of the solution to a chemotaxis model with chemical repulsive signal; Secondly, we discuss the effects of two different chemical signalling substances on the movement of the same cell species, and investigate global boundedness, blow-up and asymptotic behavior of the solution to this model. Finally, we discuss the effects of the promotion and balance between various cells and various chemical signals on the cell movement, and investigate some related properties of solution.

趋化模型是生物数学中的一个重要课题和领域。从数学上研究这类模型不仅能够解决生物数学中遇到的实际问题，同时也促进偏微分方程等相关数学学科的发展。本项目主要研究化学信号物质对细胞趋化运动的影响，讨论几类具有多种化学信号物质的趋化模型解的性质：首先，考虑细胞对化学吸引物和化学排斥物等两种化学信号物质的不同反应，着重研究具有化学排斥物的趋化模型解的适定性等问题；其次，讨论这两种不同的化学信号物质同时对一种细胞物种运动的影响，研究这类趋化模型解的有界性、爆破和渐近行为；最后，讨论多种细胞和多种化学信号物质相互促进和制衡对细胞运动的影响，研究解的相关性质。

以描述生物种群趋化运动等实际问题为背景的偏微分方程(组)的研究已成为生物数学中最近几十年研究的前沿和热点。在20世纪70年代，Keller和Segel提出并研究了描述盘基网柄菌趋化运动且具有偏微分方程组结构的趋化模型。盘基网柄菌的发育仅具有两种细胞类型，但其形态发生和模式形成过程与具有多种细胞的高等生物一样。故研究趋化模型有助于人们了解细胞分化和细胞运动等规律。. 本项目主要研究化学信号物质对细胞趋化运动的影响，探讨三类具有不同偏微分方程结构和不同化学信号物质的趋化模型解的适定性问题。第一部分，我们着重研究具有化学排斥物的趋化模型光滑解的整体存在性。我们主要探讨该模型中非线性灵敏度指数和细胞增长指数的最优指标，从而保证模型在高维空间中光滑解的整体存在性。结果表明化学排斥物对细胞运动产生强烈排斥效应，有利于模型解的整体存在性。第二部分，我们主要考虑具有两种细胞和两种化学吸引物的抛物-椭圆趋化模型。利用耦合的比较原理性分析了模型的临界质量现象，并采用常微分方程等技巧得到了解会在同一时间段发生爆破和解的爆破性态等结果。第三部分，我们主要研究两种细胞和两种化学信号物质的全抛物趋化模型。关于全抛物模型的解的存在性和爆破等适定性问题之前还没有人研究。在本项目中，考虑细胞之间通过化学信号物质相互作用，我们采用能量方法考虑了该系统解的全局稳定性，有限时内爆破解的存在性以及解的渐近行为。结果表明在该模型中细胞通过化学信号物质相互作用，一种细胞的性态完全可以由另外一种细胞决定。. 本项目研究的模型是描述细胞与化学信号物质，细胞与细胞之间相互竞争,相互作用的动力学关系的数学模型，可用于描述、预测以至控制细胞的运动与变化等趋势。这类模型的应用将促使人们进一步了解细胞分化与运动规律，故研究成果在现实中有很大的应用空间。