基于非结构混合网格的高阶精度DG方法HWENO限制器研究

High-order discontinuous galerkin (DG) finite element method has small numerical dispersion and dissipation. When the numerical simulation involves discontinuous flowfield and complex flowfield, numerical oscillations will occur due to the Gibbs effect, grid quality and complex flow. Shock-capturing technique need to be adopted to suppress numerical oscillations and improve the robustness of the calculation. In this project, theoretical analysis and numerical experiments are combined to study the HWENO limiter of DG method on the basis of unstructured hybrid grids, aiming at the calculation accuracy, calculation efficiency, residual convergence and robustness of HWENO limiter. It is proposed to establish adaptive weighting coefficient calculation method, accurate discontinuous detector, HWENO limiter reconstruction method and limiter restriction method to improve the above problems of HWENO limiter. The main research contents are: (1) adaptive weighting coefficient calculation model; (2) accurate discontinuous detector; (3) polynomial reconstruction method in HWENO limiter and limiter restriction mode. This project focuses on the HWENO limiter of DG method. The research results can promote the engineering application of DG method, and have important academic research value.

高阶精度间断Galerkin有限元方法具有小的数值色散和耗散，在数值模拟间断流场时由于Gibbs效应会产生数值振荡，需采用激波捕捉技术来抑制数值振荡，同时在复杂流动模拟中，由于局部网格质量及流动等因素，同样需要激波捕捉技术来抑制振荡。本项目采用理论分析与数值试验相结合的方法，主要针对HWENO限制器的计算精度、计算效率、残差收敛、鲁棒性四个方面问题，在非结构混合网格基础上对DG方法的HWENO限制器开展研究，拟通过建立自适应加权权重系数计算方法、精准的间断探测器、HWENO限制器重构方法、限制器限制方式来改善HWENO限制器的上述问题。主要研究内容有：（1）自适应加权权重系数计算模型；（2）精确的间断探测器；（3）HWENO限制器中的重构模板多项式方法以及限制器限制方式。本项目聚焦DG方法的HWENO限制器，研究成果能够推动DG方法的工程应用，具有重要的学术研究价值。

按照项目研究计划，第一年主要开展基于非结构混合网格的高阶精度DG方法的间断探测器研究。在原始的KXRCF间断探测器基础上，依据相邻单元的梯度关系建立了新的复合间断探测器，采用NACA0012翼型初步研究了KXRCF间断探测器中参考长度以及限制器限制方式对残差收敛性影响。第二年主要研究了光滑极值区域以及间断区域中HWENO限制器加权权重系数计算方法，建立了该系数计算方法。采用NACA0012翼型分别研究了考虑网格质量，网格方向、变量梯度方向的加权权重方法对HWENO重构限制器影响。第三年主要分析了HWENO限制器重构过程，并基于最小二乘法建立了HWENO限制器重构过程。在重构过程中添加WENO加权项以增加计算鲁棒性。进一步研究了HWENO限制器限制原则，完善和测试了间断探测器针对非结构混合网格的适应性，尤其是大拉伸比六面体类型网格。采用NACA0012翼型数值试验表明，考虑网格特征的间断探测器参考长度能够更准确地探测问题单元。最后结合r型网格自适应技术开展了HWENO限制器在超音速外流中的应用。通过该项目研究，建立了一类复合间断探测器，并改进了非结构混合网格对应的KXRCF探测器的参考长度，实现更为精确的间断单元探测；建立了基于最小二乘法的HWENO限制器，研究了考虑网格质量、网格方向、变量梯度方向的自适应加权权重系数对重构影响，一定程度上缓解了HWENO限制器的残差收敛滞止问题；分析了限制器限制自由度方式对收敛性影响，建立了限制器限制原则，进一步改善了残差收敛特性；结合r型网格自适应技术，开展了网格自适应技术在DG方法激波捕捉技术中的应用研究，实现强间断的清晰捕捉。