几类 Volterra 积分代数方程及积分微分代数方程的配置方法理论

Volterra integral algebraic equations (IAEs) and integro-differential algebraic equations (IDAEs) arise in many mathematical modeling processes, such as physics, chemistry and engineering, etc. Collocation methods, widely used for many kinds of integral and differential equations, are of high accuracy. In this project, we regard IAEs and IDAEs with weakly singular kernels, constant delays and pantograph delays as research subjects. Some fundamental theories, such as the definition of index, decoupling and regularity, will be thoroughly analyzed and discussed. For these kinds of IAEs, to obtain high convergence orders, some suitable stepsizes of collocation methods will be designed according to the regularity. For these kinds of IDAEs, to gain the general convergence and superconvergence of collocation methods, the natural collocation space will be chosen according to the decoupling. The project refers to some new research topics, and not only improves the connotation of the theoretical analysis, but also will be guidance and reference for other high accuracy numerical methods of these equations, and provides some theoretical evidences for practical applications.

Volterra 积分代数方程和积分微分代数方程的具体模型广泛存在于物理、化学和工程等众多科学技术领域。配置方法是一个高效的数值方法，广泛应用于各类积分和微分方程。本项目以具有弱奇异核、常延迟及比例延迟的积分代数方程和积分微分代数方程为研究对象。对这几类方程的指标、解耦及解的正则性等基本理论进行系统地分析和讨论；根据这几类积分代数方程的正则性设计合适的配置方法的步长，以获得较高的收敛阶；根据这几类积分微分代数方程的解耦信息选取合适的配置空间以获得较广泛的配置方法的收敛性和超收敛性。本项目涉及了一些新的研究课题，不仅可以使这些方程的理论分析得到完善，而且也对获得这些方程的其他高精度的数值方法具有指导和借鉴意义，为实际应用提供一定的理论依据。

Volterra积分代数方程（简称IAEs）和积分微分代数方程（简称IDAEs）的具体模型广泛存在于物理、化学和工程等众多科学技术领域。配置方法是一个高效的数值方法，广泛应用于各类积分和微分方程。本项目主要做了以下研究：（1）针对IAEs：研究了指标1的IAEs的多步配置方法和块脉冲方法的收敛性；指标1、2的延迟IAEs的解析解的存在唯一性及正则性，及配置方法的收敛性。（2）针对IDAEs：给出了tractability指标定义，根据指标对方程进行了解耦，并建立了指标1的IDAEs配置方法的收敛性理论；针对燃气轮机燃烧控制过程中出现的一类IDAEs，验证了其指标为1，给出了解析解的存在唯一性及正则性，并采取两种配置方法对其进行数值求解，且给出了相应的收敛性。（3）针对VIEs：研究了第一类VIEs的多步配置方法的收敛性；建立了第二类VIEs的间断Galerkin方法和连续Galerkin方法的收敛性理论；给出了具有弱奇异核的第二类VIEs的连续配置方法的收敛性，并对一致网格的配置方法进行了精细的误差分析。项目执行期间共发表SCI论文24篇，指导博士后2人，培养博士生2人、硕士生8人。本项目涉及了一些新的研究课题，不仅可以使这些方程的理论分析得到完善，而且也对获得这些方程的其他高精度的数值方法具有指导和借鉴意义，为实际应用提供一定的理论依据。