无限时滞脉冲泛函微分方程及其在经济中的应用

The proposal is devoted to investigating qualitative analysis of impulsive functional differential equations with infinite delays and its applications to Solow growth model. Firstly, exponential stability criteria are given for this kind of equations by nonlinear measure method. Especially, we present the conditions where the exponential stability of the delayed equations will persist under impulsive perturbation and where impulse perturbation can make an unstable delayed equations become stable. Secondly, the dereived results are applied to Solow growth model with impulse and infinite delays. Based on Hopf bifurcation theory, the conditions of exponential stability, unstability and Hopf bifurcations and stabilization control strategies are presented for the model by means of profit share, the rate of capital depreciation and delayed index. ..Compared with Lyapunov-Razumikhi method, our method need not make some assumptions only for using Razumikhi techniques and need not construct Lyapunov function in applications, but only verify the sign of nonlinear measure of coefficient operators of the equations. Hence, our method is applied conveniently to more general problems and provide converence rate of solutions. Applicatons to Solow growth model is the other characteristic of the proposal, which will provide a new method for macro-economic decision. Consequently, research in the proposal enjoys a theoretical value and practical significance.

本项目致力于无限时滞和脉冲泛函微分方程的定性分析及其在索洛经济增长模型中的应用研究。首先，利用非线性测度，给出此类方程解的指数稳定性准则。特别地，对于稳定的时滞方程，给出脉冲扰动继承稳定性的条件；对于不稳定的时滞方程，给出脉冲扰动使之变成稳定的条件。其次，应用获得的成果研究无限时滞脉冲索洛经济增长模型，结合Hopf分歧理论，利用利润分配指标、资本贬值率和时滞参数给出指数稳定条件、不稳定条件和Hopf分歧条件及稳定化控制策略。和Lyapunov-Razumikhi方法相比，我们的方法不需要仅为使用Razumikhi技巧而做一些假设，应用中也不需要构造Lyapunov函数，只需验证方程系数算子的非线性测度的符号。基于此，获得的稳定性准则不但应用范围更广便于实现，而且还可以给出收敛速率。对经济增长模型的研究是本项目的另一个特色，将会为宏观经决策提供一定的理论参考，具有一定的现实意义。

无限时滞脉冲泛函微分方程模型因其能更合理地描述某些实际问题，近些年已经成功地应用于很多领域。关于它的研究用具有重要的理论价值和现实意义。.本项目的主要研究内容为：（1）无限时滞脉冲泛函微分方程的系数算子和脉冲算子满足什么条件时，该方程是全局指数稳定的；（2）对于一个指数稳定的无限时滞泛函微分方程，在什么条件下，它被脉冲扰动之后依然是指数稳定的；（3）对于不稳定的时滞微分方程，施加的脉冲控制项也就是脉冲算子满足什么条件时，无限时滞脉冲泛函微分方程是指数稳定的；（4）把获得的研究结果分别应用于时滞和脉冲影响的细胞神经网络和同种商品价格波动模型的指数稳定性研究。.我们获得的重要研究结果如下：.（1）对于抽象的时滞脉冲泛函微分方程，我们证明了：如果该方程的脉冲算子是有界的，且微分系数算子在平衡点处的相对非线性测度小于0，则该方程的平衡点是全局指数稳定的。.（2） 对于微分系数算子分为非时滞扰动算子和时滞扰动算子两部分的不同类型的脉冲泛函微分方程，我们分别利用非线性测度（相对非线性测度）方法证明了：如果非时滞扰动算子的非线性测度（在平衡点处的相对非线性测）加上时滞扰动算子的最小Lipschitz常数（在平衡点处的偏最小Lipschitz常数）的和小于0，只要脉冲算子有界， 则该时滞脉冲泛函微分方程（平衡点）是全局指数稳定的。也就是说，对于一个稳定的时滞微分方程模型，只要其脉冲算子有界，脉冲扰动后的方程保持了原方程的指数稳定性质。.（3）从控制论的角度对稳定化问题进行了研究，我们已基于自适应控制策略设计了不同的新的控制器，为实现脉冲稳定化提供了新的方法。.（4）我们将获得的指数稳定性结论分别对有限或无限时滞和脉冲影响的细胞神经网络和同种商品价格波动模型的指数稳定性进行了系统研究，获得了一系列指数稳定性判别条件。.本项目的研究结果不仅进一步丰富和完善了微分方程定性理论，而且为人工智能、微观经济学和生物学领域的定性分析研究提供新的理论方法支撑，具有重要的科学意义。