关于调和映射和拟正则映射性质的研究

This project mainly studies some properties of harmonic mappings and quasiregular mappings, which consists of the following three aspects. First, we use the hyperbolic geometry and function construction methods to investigate the conjecture of 1/6 covering disk of Clunie and Sheil-Small. We also use these methods to establish the coefficient estimates and apply them to obtain the Landau-Bloch theorem for several classes of boundless harmonic mappings. Second, we use geometry and global analysis methods to discuss the equivalent modulus and Lipschitz continuous properties on some classes of local univalent harmonic mappings and quasiregular mappings. At last, we study Girela and Pelaez's conjecture, and discuss whether or not the conjecture holds for solutions to several classes of elliptic PDEs.

本项目主要研究调和映射和拟正则映射的一些性质，由如下三个方面的内容组成：（1）我们的主要任务之一是利用双曲几何和函数构造的方法研究Clunie和Sheil-Small的1/6覆盖圆盘猜测，并用这些方法建立几类局部单叶调和映射的系数估计，最后用这些系数估计来获得几类无界调和映射的Landau-Bloch定理。（2）我们的任务之二是运用几何和局部分析方法来讨论几类局部单叶调和映射和拟正则映射的等价模性质以及Lipschitz连续性质， 所得结果将推广Dyakonov于1997年发表在Acta. Math.上的相应结果。（3）针对几类复椭圆偏微分方程的解讨论Girela和Pelaez于2004年提出的关于半径增长的猜测。

项目：“关于调和映射和拟正则映射性质的研究 （No. 11326081）”顺利地完成拟订的研究计划。主要工作如下：（1）证明了定义在单位圆盘上的正规化单叶调和映射的像包含一个半径大于1/8的圆盘，此结果改进了Clunie和Sheil-Small在《Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 9, 3-25, 1984》中得到的覆盖圆盘半径为1/16的估计；（2）回答了 Girela 和Pelaez在《Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 29(2004), 459-469.》中提出的一个公开问题对于某类偏微分方程的解也是成立的；（3）建立了高维解析函数的Riesz型表示定理以及多重调和映射的等周型和Fejer-Riesz型不等式，所得结果是关于解析函数相应结果的推广和改进。