一类含特殊低阶项的退化椭圆方程的正则性研究

Degenerate elliptic equations are very important in the theory of partial differential equation, which is encountered in many problems of fluid mechanics, boundary layer theory, in mathematical finance and other branches of mathematics. This research is mainly to study the regularity theorems of a class of degenerate elliptic equations which has a special form of the low order terms. In this research the compactness methods, the iterative techniques and the theory of Sobolev space related to the degenerate elliptic operators and other important analysis tools will be used. Combined with the property of scaling form of the degenerate elliptic equations, the regularity of the equation will be obtained. By improving and adapting the theories and the methods of the elliptic equation to the degenerate elliptic equations, the priori estimates of the linear and the quasi-linear degenerate elliptic equations will be obtained. These theories are reasonable extensions of the regularity of the elliptic equations. The research methods and the conclusions in this research will provide new ideas and theoretical basis to further explore some particular properties of the degenerate elliptic equations.

退化椭圆方程理论是偏微分理论中的一个重要研究内容，它在流体力学、边界层理论、金融数学等数学的其它分支中都有非常广泛的应用。本课题将以紧性方法、迭代技巧以及与退化椭圆算子相适应的Sobolev空间理论等为重要分析工具，并结合退化椭圆方程自身的尺度变换的性质，来研究一类含有特殊形式的低阶项的退化椭圆方程的正则性。 我们将在改进和完善椭圆方程的理论和方法使之与退化椭圆算子相适应的基础上，重点研究线性和拟线性退化椭圆方程弱解的先验估计，该结论也是对椭圆方程解的正则性的一种合理推广。本课题所用的研究方法及其成果将为进一步探讨退化椭圆方程的一些特定性质提供新的证明思路和理论依据。

本项目主要研究了一类含特殊低阶项的线性和拟线性退化椭圆方程的正则性，旨在探讨低阶项对方程的正则性的影响。对于线性退化椭圆方程主要研究了该方程弱解的 估计， 对于拟线性退化椭圆方程主要研究了该方程弱解的Hölder估计。在研究的过程中首先给出了与退化椭圆算子相适应的一些距离和函数空间的定义，并应用能量估计和嵌入定理给出了齐次线性退化椭圆方程解的正则性。利用方程的线性性质，采用紧性方法，得到方程在退化点的估计。利用退化椭圆方程自身内在的尺度变换性质，并且在不同的点不同的尺度上进行解的逼近，得到相应的迭代序列，最终得到解的先验估计。我们得到的研究结果表明当方程的特殊低阶项满足一定条件时，仍然可以得到方程解的先验估计，而且该低阶项对方程的正则性有一定的影响。该结论对于理解退化椭圆算子的本质有一定的作用，也是对椭圆方程解的正则性的一种合理的推广。