几类可压缩超弹性轴对称结构的非线性动力学问题研究

Hyperelastic materials, mainly represented by rubber and rubber-like materials, possess the typical characteristics of nonlinearity, high elasticity and large deformation, and their products are widely used. Therefore, the dynamic problems related to these materials and structures has always been the focus of attention. This project is to use and extend symmetry theory of differential equations to study the nonlinear dynamics of several compressible hyperelastic axisymmetric structures. The plans of the project include: 1. Study the dynamic characteristics of a class of the compressible hyperelastic cylindrical structures; 2. Study the propagation of solitary waves in a class of the compressible hyperelastic spherical structures with variable material densities; 3. Study the propagation of solitary waves in a compressible hyperelastic cylindrical tube with variable material densities and variable cross-sections. To solve above problems, we will establish the correct and reasonable mathematical models, use symmetry theory to give the symmetries and solitary wave solutions of the governing equations. We will also explain the influence of variable material densities and variable cross-sections on the propagation characteristics, evolution rules and stability of the solitary waves, and analyze the fission and rogue wave phenomenon. The research results of this project can further enrich and develop the applications of soliton theory in elastic mechanics, and have important theoretical and practical significance.

以橡胶和类橡胶为主要代表的超弹性材料具有非线性、高弹性和大变形等典型特点，其制品具有广泛的应用，因此相关材料和结构的动力学问题一直是人们关注的焦点。本项目拟运用并拓展微分方程的对称理论研究几类可压缩超弹性轴对称结构的非线性动力学问题，主要研究内容为：1.研究一类可压缩超弹性圆柱形结构的动力学特性；2.研究具有可变材料密度的可压缩超弹性球形结构中孤波的传播问题；3.研究具有可变材料密度且可变截面的可压缩超弹性圆柱管中孤波的传播问题。本项目针对以上问题建立正确合理的数学模型，借助对称理论给出相应方程的对称和孤波解，并说明可变材料密度和可变截面对孤波传播特性、演化规律和稳定性的影响，分析孤波的裂变和怪波现象。本项目的研究成果可以进一步丰富和发展孤子理论在弹性力学中的应用，具有重要的理论和实际意义。

由超弹性材料组成的轴对称结构具有优良的力学性能，在航空航天、交通运输、机械制造等诸多工程领域具有重要的应用价值。因此，对这些超弹性轴对称结构相关问题的研究引起了广泛的关注。本项目研究了几类超弹性轴对称结构的非线性动力学问题，具体研究内容如下：(1)研究了具有可变材料参数的可压缩超弹性板中孤波的传播问题，给出了相应的非线性变系数微分方程，借助对称理论得到该方程的对称和多种孤波解，并且首次发现了超弹性怪波。通过选取适当的材料参数和变换函数，分析它们对孤波的传播特性和演化规律的影响。(2)研究了两个描述可压缩超弹性板中非线性波传播问题的Kadomtsev-Petviashvili方程的多种非线性现象。基于微分方程对称理论和双线性神经网络方法，利用三维动态图像，通过选取不同参数值得到了非零背景下几类孤波的裂变和湮灭现象以及非恒定背景下的相互作用现象，并且分析了它们的动力学特性和演化行为。(3)研究了一类可压缩超弹性圆柱壳结构的动力学问题，利用轻微可压缩热-超弹性材料的本构关系，导出了描述圆柱壳径向和轴向运动的耦合偏微分方程组。并详细讨论了系统的定性性质，分析了材料参数对圆柱壳中孤波的影响。(4)研究了一类不可压缩超弹性圆柱壳结构的动力学问题，利用变分原理，导出了描述圆柱壳轴对称运动的一类复杂微分动力系统。根据定性理论对系统进行定性分析，并确定了圆柱壳内出现周期波和不同类型孤波的参数条件。本项目的研究不仅进一步丰富和发展了孤子理论在弹性力学中的应用，而且揭示了利用非线性波传播技术检测结构缺陷和确定材料参数具有广阔的应用前景。