可积系列的顶点算子及其应用

The main objective of the project is to study the vertex operator and its application of the integrable hierarchy and construct the new integrable hierarchies based on the vertex operator. It is one of the most important topics in the field of mathematics physics. We will study the following problems. The first one is to establish the vertex operator, tau function, fermion representation, transformation group, Virasoro symmetry, higher order algebraic constrains of the n-reduced KP hierarchy and construct some new integrable hierarchies based on the vector operator. The second one is about the bosonic tau function, vertex operator, algebraic constrains and Bose-Fermi correspondence in the constrained CKP case. The third one is to obtain the vertex operator and its application of q-deformation、discrete deformation and multi-component deformation of the KP hierarchy. The results not only can enrich the theory of the integrable system, but also provide some ties between integrable systems and other topics in the field of mathematics physics.

本项目主要研究可积系列的顶点算子及其应用，同时讨论从顶点算子出发构造新的可积系列，是当前数学物理研究领域中的一个热点课题。具体关注以下问题：1) KP系列约化子系列的顶点算子、Tau函数、自由费米子表示、变换子群、Virasoro对称、高阶代数约束，以及利用顶点算子构造新的可积系列；2）约束CKP系列的玻色子Tau函数、顶点算子、玻色化的玻色-费米对应和代数约束等；3)KP系列的q-形变、离散形变、多分量推广等情形的顶点算子及其应用。这些研究结果不但可以丰富可积系统的理论框架、加深对可积系统的理解，同时也为研究可积系统与数学物理其他分支之间的联系提供一些基础。

顶点算子(Vertex Operator)在可积系列的研究中起着关键作用，如经典Kadomtsev–Petviashvili（KP）系列的 Tau函数、孤子解、自由费米子表示、Fay恒等式和Adler–Shiota–van Moerbeke (ASvM)公式的研究都基于顶点算子. 本项目基于顶点算子的角度来研究一些可积系列的可积性质，具体来说是离散KP系列、离散约束KP系列、对称形式的q-KP系列等可积系列的附加对称、Ghost对称、Virasoro代数约束、Adler–Shiota–van Moerbeke (ASvM)公式等. 对于离散KP系列，从Ghost对称出发，给出离散KP系列本征函数和共轭本征函数的流方程以及用Baker–Akhiezer函数和共轭Baker–Akhiezer函数的谱表示，进一步在顶点算子的基础上，给出离散KP系列的ASvM公式，这是本项目的第一个部分. 本项目组的第二个工作集中于离散约束KP系列的附加对称，并且证明附加流构成Virasoro代数关系. 项目完成的第三个主要工作是基于对称形式的q-微分算子和对称形式的q-指数函数的性质，构造了新的可积系列---对称形式的q-KP系列，并给出其流方程、Sato方程、波算子、波函数，并引入新的附加流，并证明构成可积系列的对称. 之外，项目组成员还研究了q-mKP系列、双参数的q-KP系列、离散mKP系列的相关可积性质. 这些研究结果显示出顶点算子在可积系列有着重要的地位和广泛的应用，并导致一些新可积系统的产生，促进可积系统的继续研究.