生物医学图像重建中的数学模型与计算方法研究

Biomedical image reconstruction is one of the most important research and development directions of the interdisciplinary area of applied mathematics, scientific computing, medical engineering, life science and information technology. The aim of this proposal is to investigate the mathematical models, computational methods and the related theory for image reconstruction problems arisen in the low-dose and sparse-angle X-ray computed tomography and high-noisy cryo-electron microscopy. In terms of the mathematical models, we will explore the generally geometric characteristics of the reconstructed image, and then seek the geometric regularization to characterize the prior knowledge of the reconstructed image, and then construct the appropriate geometric-regularized variational models. We will further study the applications of the geometric partial differential equations for image reconstruction, and make the geometric flow govern the reconstructing process, and hence obtain the desirable performance. In addition, we will focus on investigating the selection methods for the regularization parameters of the variational models based on total-variation and geometric regularizations. We also investigate the fast algorithms for the forward projection and back projection of the iterative reconstruction methods, and further develop the efficient iterative algorithms for the aforementioned reconstruction models. Finally, the correspondingly theoretical analysis of the proposed models and algorithms will be conducted.

生物医学图像重建是应用数学、科学计算、医学工程、生命科学与信息技术等多学科交叉领域最重要的研究和发展方向之一。本项目拟对低剂量稀疏投影角度的X射线计算机断层成像和高噪音的低温电子显微成像中图像重建问题的数学模型、计算方法以及相关理论进行研究。在数学模型方面，我们拟探索重建图像的一般几何特性，寻求能刻画图像先验信息的几何正则化项，构造合理的基于几何正则化的变分模型，并且深入研究几何偏微分方程模型在图像重建中的应用，让几何流来控制图像的重建过程，从而获得理想的重建效果。此外，我们还研究基于全变差正则化的变分模型与基于几何正则化的变分模型中正则化参数的选取方法。研究迭代重建方法中前投影与反投影的快速算法，并且发展求解上述重建模型的高效迭代算法。最后，我们拟对提出的数学模型和计算方法的理论进行分析。

生物医学图像重建是应用数学、科学计算、医学工程、生命科学与信息技术等多学科交叉领域最重要的研究和发展方向之一。本项目主要是对低剂量的X射线计算机断层成像和高噪音的低温电子显微成像中图像重建问题的数学模型、计算方法以及相关理论、后处理与可视化进行研究。围绕上述问题，针对图像重构中的经典的TV正则化变分模型，在算法上，我们提出了基于梯度流的混合格式有限元方法和线性化分裂Bregman迭代算法，并对相关理论问题进行了分析。在模型方法上，我们提出了基于曲面扩散流的多尺度双梯度方法，还基于计算解剖学的可变形模版机理，设计了一个具有形状先验信息的重构数学模型框架，创新性地利用了形状正则化项，结合线性变形的图像匹配方法，在重复核Hilbert空间中考虑线性变形模式。对重建的图像进行了分割后处理，提出了分片多项式的Mumford-Shah模型。为高效真实地可视化三维重构图像，我们还建立了大规模高性能科学计算数据可视化平台。这些模型，算法和平台不仅具有重要的应用价值，还为生物医学成像中图像重建和分割等应用问题的解决提供了新思路、新方法。更重要的是，我们在科学出版社“信息与计算科学丛书”出版名为《图像重构的数值方法》的专著。该书属于“十二五”国家重点图书出版规划项目，是国内计算与应用数学专业生物医学图像重构研究领域的第一本专著，为本研究领域的广大科技工作者的后续研究提供了重要的参考。