图的积和根与积和谱确定研究

Permanental polynomial of a graph is an important class of graph polynomials, which is more difficult to compute than the characteristic polynomials of graphs. It has been found that permanental polynomials of graphs contain some structural information of graphs. In particular, the coefficients and roots of the permanental polynomials of molecular graphs (for example, fullerene graphs) are closely related to the structure of molecule. This project mainly studies the roots of permanental polynomials (permanental roots) of graphs and characterization of graphs by the permanental polynomial. Specifically, we investigate the nature and location of permanental roots of graphs; present the upper bounds for the moduli of permanental roots and permanental spread of graphs; characterize graphs with few permanental roots, and determine graphs which can be characterized by their permanental polynomials. Through systematical study of this project, we are going to solve some important problems of permanental polynomials of graphs, provide some valuable research methods, and promote the further development of the theory of permanental polynomials of graphs.

图的积和多项式是一类重要的图多项式，与图的特征多项式相比计算更加困难。 研究发现图的积和多项式包含着图的结构信息，特别是分子图（如富勒烯图）的积和多项式的系数和根与分子的结构紧密相关。本项目主要研究图的积和多项式的根（积和根）和积和多项式确定图。 具体地研究图的积和根的性质和分布情况；给出图的积和根的模和积和谱展的上界；刻画不同积和根的个数较小的图；确定出能被积和多项式所刻画的一些图。通过本项目的系统研究，解决图的积和多项式的若干重要问题，提出有价值的研究方法，推动图的积和多项式理论的进一步发展。

本项目主要研究图的积和多项式，其来源于代数图论和化学图论，包括图的双变量积和多项式、Laplace积和多项式和无符号Laplace积和多项式、广义积和多项式。我们对Balasubramanian和Parthasarathy提出的双变量积和多项式猜想给出反例，建立了图的双变量积和多项式的部分系数与图的结构之间的关系，得到了图的双变量积和多项式的刻画性质，并证明了完全图、星、完全二部图、正则完全多部图、圈、顶点数模4不同余于3的路以及它们的补图都能被双变量积和多项式所确定。我们分别得到了图的Laplace积和多项式和无符号Laplace积和多项式的前五个系数的组合表达式，给出可被它们确定的一些图类，并计算出顶点数不超过10的所有图的（无符号）Laplace积和多项式，统计出不能被它们区别的图所占的比例。计算结果表明，（无符号）Laplace积和多项式在区分图时比邻接谱、Laplace谱和无符号Laplace谱都要好。我们证明了图的（无符号）Laplace积和多项式有零根当且仅当这个图有孤立点，零根的重数恰好等于图的孤立点的个数。为了寻求图刻画多项式，我们定义了图的广义积和多项式，它是邻接积和多项式、Laplace积和多项式和无符号Laplace积和多项式的推广。我们给出了广义积和多项式前五项系数的组合表达式，也计算出顶点数不超过10的所有图的广义积和多项式，从计算结果看到，广义积和多项式在区分图时比Balasubramanian和Parthasarathy介绍的双变量积和多项式效果更好。另外，对于Nikiforov于2017年定义的图的Aα-特征多项式，我们给出了其前四项系数的组合表达式，也给出一些可被Aα-特征多项式确定的特殊图类。最后，我们对R-同谱图也做了研究，给出R-同谱的一个必要条件。这些研究结果解决了前人提出的一些问题和猜想，推动了图的积和多项式理论的进一步发展。