锥优化的修正Lagrangian对偶理论研究

锥优化是目前国际优化领域热点问题之一。对锥优化的修正Lagrangian对偶理论的研究多局限在修正函数为特殊的凸函数，如二次凸函数或范数等，而对修正函数为一般凸函数甚至非凸函数的研究十分有限。因此我们提出本项目的申请，目的在于利用现代优化的基本工具，如变分分析、扰动分析等，结合锥优化的特殊结构，系统研究当修正函数为一般凸函数或非凸函数时，锥优化的修正Lagrangian对偶理论，包括：强对偶定理、鞍点、精确罚表示的存在性等。这是修正Lagrangian对偶理论从传统非线性规划到锥优化的实质性推广，将进一步丰富锥优化的理论体系。最后，将上述研究思路应用到具体的锥优化问题- - 半无限规划(SIP)，建立(SIP)的修正Lagrangian对偶理论。

本项目利用变分分析、扰动分析等现代优化的基本理论工具，对锥优化的修正Lagrangian对偶理论展开研究。取得的主要研究成果包括：.(1) 对一般的凸锥优化，讨论其修正Lagrangian对偶理论，包括强对偶定理；修正Lagrangian乘子的存在性；零对偶间隙、修正Lagrangian乘子、鞍点三者之间的关系。.(2) 讨论非线性二阶锥优化的鞍点存在性：在二阶充分性条件下建立局部鞍点存在性；通过扰动分析在不需要约束集紧致及最优解唯一的条件下，建立全局鞍点存在性、全局鞍点与精确罚表示之间的等价关系。.(3) 讨论修正Lagrangian乘子算法的收敛性：在不需要乘子序列有界的条件下，建立算法的全局收敛性；设计罚参数新的迭代形式，在罚参数有界或无界的两种情况下，分别建立算法的全局收敛性；给出迭代函数值序列f(xk)收敛的充要条件。.(4) 讨论一类特殊的非对称锥优化问题-圆锥规划：建立切锥、法锥、二阶切集的结构表达式；证明圆锥具有二度正则性；研究投影算子的微分性质，如方向导数、次微分、协同导数；研究参数圆锥规划的稳定性等。..上述研究成果进一步丰富了锥优化的理论体系。