超弦/M-理论中的非交换几何与相关对称结构

In this project we search for effective mathematical descriptions of noncommutative geometry structures and related symmetries in the superstring/M-theories, especially we study the relations between these noncommutative structures and quantum groups, quantized braided groups and the associated algebraic theories. By these investigations about noncommutative (quantum) geometries and interrelated mathematical theories we probe into the structures and properties of the physical spacetime in ultramicro scale (Planck scale: 10^-33 cm) and hope to understand the essence of spacetime further. Moreover, we attempt to explore some method for constructing quantized braided gauge field theories and inquire into the quantized braided structures of gauge field theories in superstring/M-theories, and go further into possible intrinsic relationshships between quantum and statistical properties for the material world. To sum up, by studies of this project, we hope to get deeper understandings to the natural instincts of matter and the essence of ultramicro-scale spacetime, and at the same time, provide leads for building complete M-theory.. The questions for discussion in this project are important, challenging and advanced ones in the realm of the international modern mathematical physics.

探索超弦/M-理论中非交换几何结构及其对称性的有效数学描述，特别是研究这些非交换结构与量子群乃至量子辫子化群(Quantized Braided Group)及其相关代数理论的关系，通过对这些非交换几何（量子几何）及相关数学理论的研究探求超微尺度（Planck尺度：10^-33厘米）下物理时空的结构和性质，以求加强对时间空间更深层本质的理解。寻求量子辫子化规范场理论的构造途径，探讨超弦/M-理论中规范场论的量子辫子化结构，由此探索物质世界量子性质和统计性质之间在更深刻、更本质层次上的可能存在的内在联系。总之，我们试图通过本项目的研究加深对物质基本性质以及对时间空间超微结构和本质的认识，同时也为探寻建立完整的M-理论提供信息。.本项目研究的是现代数学物理领域中的一个重要且富于挑战性的国际前沿课题。

本项目研究中我们从超弦/M理论的有效理论（effective theory）作用量和场方程的理论结构入手，考虑到超弦/M理论的丰富的对偶关系（duality relations）和对偶对称（duality symmetries），从不同的角度考察了有效理论在强引力区域（如黑洞）的某些性质和特点以及某些情况下的部分量子性质。这些研究对进一步认识时空小尺度的结构和性质有一定的推进作用。项目组成员在项目资助下已发表SCI检索论文22篇。. 然而，令我感到非常惭愧和遗憾的是，原计划将量子辫子化几何方法用于研究超弦/M理论中的时空小尺度结构上的非交换性质的问题，我们虽然用过去工作中的一些数学工具和相关结果从不同的角度进行了艰苦的尝试，但总是在一些数学结构的细节上出现问题而没有成功。看来，我们考虑问题的角度需要作进一步调整。近一个阶段，我们开始尝试（结题报告正文中会有较详细汇报）：（1）在以前研究工作的基础上给出对偶（函数型）量子辫子化群的更一般结构，以便更适于应用于量子辫子化空间几何的描述；（2）将我们以前给出的超弦/M有效理论的无穷维李代数对称结构尤其是无穷维对称李群变换以及超弦/M有效理论场方程解的逆散射生成方法用于求得场方程的更多的典型解。以求我们可以通过进一步分析找到新的切入点。以上两方面的探讨本身在相关领域也是有意义的。