高维非线性Schrödinger型方程的若干研究

In this program, we investigate exact solutions and integrability of the nonlinear Schrödinger type equations in multi-dimensions. (1) Firstly, point symmetry method, group foliation method and conditional Lie-Bäcklund symmetry method will be used to construct the exact solutions of the nonlinear Schrödinger type equations in multi-dimensions. Secondly, dynamical behavior of the solutions will be discussed. Furthermore, L2 norm and conserved energies of the corresponding solutions will be constructed, respectively. (2) Conservation laws and Hamiltonian structures of the nonlinear Schrödinger type equations in multi-dimensions will be established..The topic of this program has profound physical backgrounds and valuable applications. The new results will have a wide impact on the corresponding theories of nonlinear partial differential equations in multi-dimensions.

本项目主要研究高维非线性Schrödinger型方程的精确解与可积特征。(1) 首先，分别利用点对称群法、群叶状结构法与条件Lie-Bäcklund对称法构造高维非线性Schrödinger型方程的精确解。其次，系统的分析所得精确解的动力学行为，进一步构造相应精确解的L2范数和守恒能量。(2) 构造高维非线性Schrödinger型方程的守恒律和哈密顿结构。.本项目所讨论的问题具有深刻的物理背景和很好的应用价值，研究成果将在一定程度上丰富高维非线性偏微分方程的相关理论。

本项目中，我们分别利用经典对称群理论和群叶状结构法对高维Schrödinger方程进行了研究，得到了该方程的群不变解和非群不变解。对所构造的精确解，分析了它们的解析特征。由方程允许的对称群，我们构造了该方程允许的守恒律。利用经典对称群理论，我们分别研究了一类非线性非齐次扩散方程和一类n维波方程的对称约化以及群不变解的构造。进一步，我们讨论了分数阶非线性非齐次扩散方程的群不变性，构造了该方程的精确解，并且展示了所得解关于不同参数的渐进行为。利用广义Cauchy矩阵方法,我们分别构造了非自治扩展链Boussinesq型方程和自治扩展链Gel'fand-Dikii型方程族及其精确解。采用约化思想，我们导出了链势Korteweg-de Veris方程和两个半离散链势Korteweg-de Veris方程的有理解。