两样本稀疏不平衡观测的纵向数据中的检验问题

Longitudinal data are usually modeled by summation of two part, the fixed effect or global mean function, and the random effect or variation function measuring between-subject correlation. It is statistically essential to test equality of the covariance operators of the random effect, and the equality of the mean function for two population or two treatments. The problems are particularly challenging when the longitudinal data are sparse and irregularly spaced. Within the frame of sparse and imbalanced longitudinal data, this project includes three parts of work. First, we will develop testing procedure for the equality of covariance function of the random effect function in the longitudinal modelling, including algorithm, testing statistics, and limiting distribution theory under the null and alternative hypothesis. This is quite novel since existed work tends to assume normality but we assume mild condition for the unknown distribution function. Second, we will propose testing procedure for the equality of fixed effect function, including algorithm to calculate the global testing statistics, the asymptotic distributions of the testing statistics under both null and alternative hypothesis. Third, we will study on the rate function, that is, the variation of the mean function, which is more explanatory and intuitive when compare two treatments. For all three aspects, extensive simulation will be explored to compare with other methods or demonstrate the merit of our proposed methods by measuring the controlling on the type I error and the power. Real data analysis will be included to illustrate the application of our proposed methodology.

纵向数据的建模常包含固定效应函数（均值函数）与随机效应函数两个部分. 检验两样本纵向数据的随机效应的方差函数以及总体均值函数是否相等,在统计学里,有重要的意义. 尤其是当观测样本是稀疏和不等距观测时，以上检验问题很有挑战性。基于此，本课题打算做三个方面的研究：第一，在随机效应的分布函数未知且只做一般假定时，检验随机效应的方差函数是否相等，相关的算法，检验统计量， 在零假设和对立假设下的极限分布将得到全面研究。第二，检验各总体的均值函数是否相等，我们会系统的提出检验过程的算法，建立全局性统计量和推断在零假设和对立假设下的相应的渐进分布性质。第三，进一步研究均值函数变化率是否相等的检验问题。以上三方面的研究都会伴以广泛的模拟计算，如一型错误概率值和功效值，以便和已有的方法相比较，或者展示所提方法的优点。研究还包括对实际数据的分析和应用，来阐释提出的新方法和理论。

随着科学技术的高速发展，纵向型函数数据，就是个体重复观测，且每次观测是以函数的形式出现，是目前涌现得越来越多的数据类型。关于样本中的一些重要参数的比较与检测成为重要的科学问题。本项目的研究内容大体分类三种。 第一类问题是检测两样本的纵向型函数的协方差函数是否相等，尤其是数据是否稠密的情形，如何发展有效的方法。项目组以主成分分解为主要手段，发展出混合样本的主成分分解方法，其方法能有效的检验出协方差函数的异质性。所提方法的思想也被推广到检验高维数据中协方差矩阵是否相等问题上，尤其是在较小样本的情形，其势函数与对I型错误的概率控制上都非常有效。第二类基础问题是检测两样本的纵向型数据的均值函数是否相等。项目组从两个方面进行了讨论。一个是对曲面型纵向数据的均值函数是否相等发展了一个二次投影的主成分分解程序，并提出了一套算法以实现目标；另外一类检验考虑曲线型纵向数据的相等与否，方法是建立一套共同基，从而使投影得分总是能有效，这个方法的好处是不用特别区分数据的类型，并且优于文献中已有的对稠密性数据才有效的方法。第三类问题是对速率函数的推断与建模，从而建立函数型的相应变量的合理的均值回归函数。项目组提出了一个新的估计一阶偏导函数的方法，是对现有的曲面性纵向数据的一阶动态模型估计文献的一个有益补充。在每一类基础问题中，又产生了若干研究问题并且完成了对应的统计推导、理论证明、实例分析等数值计算。