代数信号处理理论及应用

非平稳、非高斯信号的分析与处理已成为现代信号处理领域的研究热点，高效、精确地信号表征与分析方法对于我们更加真实、客观地认识自然界本质来说具有重要意义。由此，本项目将探索研究代数信号处理的基本原理及应用。主要包括：（1）代数信号处理的基本理论研究：研究采样、滤波、频谱响应等信号处理的基本概念在代数信号处理体系下的表征；探索现有信号处理变换理论（Fourier变换、小波变换、分数阶Fourier变换、线性正则变换等）的代数表征与描述；（2）代数信号处理的应用研究：探索代数信号处理体系下，现有信号变换方法的离散化方法与快速算法，进一步完善其基本理论；研究基于代数信号处理的新颖非平稳信号分析与处理方法；给出分数阶代数信号处理的基本特性与应用。本项目的研究不但进一步丰富了信号处理理论体系，而且还为现有信号变换方法的实际应用奠定了良好的基础。

本项目利用抽象代数的特点与性质，开展了代数信号处理的基本原理及应用研究。主要研究成果包括如下：. （1）代数信号处理的基本理论研究：在现有代数信号处理理论和方法的基础上，探索了Chebyshev多项式与库利-图基算法之间的关系；探讨了离散三角变换（DTTs: Discrete Triangle Transforms）和代数信号处理理论的联系，并得到了DTTs的代数表征及16个DTTs之间的关系；得到了信号抽取与插值的代数表征与描述；提出了基于Chebyshev多项式非均匀零根点进行信号重构的方法；给出了在信号所组成的再生核Hilbert空间中，通过信号采样点来重构原始信号的采样理论；得到了线性正则变换域Wigner-Ville分布、模糊函数的不确定性原理；给出了SL(2,R)群上的谐波变换的概念和性质。. （2）代数信号处理的应用研究：借鉴代数表示论等理论，提出了线性正则变换域复能量密度函数、信噪比定量分析、瞬时频率估计、语音信号恢复、Poisson求和公式等基本理论；分析了离散傅里叶变换、离散正弦变换和离散余弦变换的代数表征与描述；提出了SL(2,R)群上的谐波变换理论，并应用于图像分析与表征；提出了分数阶Fourier变换及谐波变换域的数字水印方法；结合分数阶傅里叶变换的基本原理，提出了分数阶小波变换的卷积理论；提出了分数阶Weierstrass数学模型，并将其应用于海洋目标的分析与处理。. 本项目的研究不但进一步丰富了信号处理理论体系，而且还为现有信号变换方法的实际应用奠定了良好的基础。