一维非线性耦合双曲系统的边界同步性

Synchronization is a widespread natural phenomenon. How to describe the behavior of synchronization for a coupled system has been widely studied by biologists, engineers and sociologists. The previous research activities, however, only focused on the systems governed by ordinary differential equations. In the field of partial differential equations, the study of boundary synchronization has just begun and the most known results are limited to the linear situation. This project is mainly devoted to the boundary synchronization for 1-D nonlinear coupled hyperbolic systems with possible lack of boundary controls. Different from the linear case, the situation could be more complicated for the nonlinear control problem. The related research of this project is expected to open the door on how to realize boundary synchronization of the nonlinear infinite dimensional dynamical systems.

同步是一种广泛存在的自然现象，如何描述耦合系统的同步行为是生物、工程及社会学家们一直关心的问题。以往这方面的成果集中于常微分方程领域，而在偏微分方程控制领域，特别是对于耦合双曲系统的同步性，目前才刚刚起步，绝大部分的结果均是基于线性情况下得到的。本项目主要研究边界控制部分缺失时，一维非线性耦合双曲系统的同步行为。与线性情形不同，非线性情形对同步性的研究更加复杂。我们拟针对这个问题进行深入地剖析，希望由此打开研究非线性无穷维动力系统同步性的大门。

本项目旨在研究控制缺失情况下一维非线性耦合双曲系统的同步行为。在开环控制方面，对于具有Dirichlet、Neumann及耦合Robin型边界条件下的一维拟线性耦合波动方程组，我们通过较少的边界控制函数建立了拟线性系统的精确边界同步性。为了研究更为关心的闭环控制，由于控制量的缺失，非线性耦合双曲系统的反馈同步性一般不能在长时间区间内研究。为此，我们主要处理了线性及拟线性双曲系统自身的闭环控制，我们彻底解决了一般线性及拟线性双曲系统的单侧边界镇定性。对于线性系统，甚至能在最优的有限时间内实现镇定。另外，对于积分-微分型双曲系统，我们找到了这类带非局部项的双曲系统能控性与有限时间镇定性之间的等价关系。这些结果一方面可以推广到线性及某些特殊非线性双曲系统的同步镇定性上，另一方面无疑对一般非线性双曲系统反馈同步性研究有重要的启示作用。