谱序列与球谱的同伦群

The stable homotopy groups of spheres is one of the central problem in homotopy theory, and it is the well known difficult problem. By using the Adams spectral sequence and the Adams -Novikov spectral sequence, we can detect some new families of nontrivial elements in the stable homotopy groups of spheres, which is important to study the stable homotopy groups of spheres. In the detection and studying of the stable homotopy groups of spheres，there are so many difficult and classical problems which need to be solved. This project specializes in the following four problems: Firstly, in the Adams spectral sequence, we can detect some new products by the help of the Greek letter elements. However, there is a limited condition that the subscript s<p. So we want to cancel this condition and detect general elements of products with Greek letter elements for s>p； Secondly, to detect new a_0 related elements as geometric input, to give new families of nontrivial elements in the stable homotopy groups of spheres；Thirdly，to access the stable homotopy groups of spheres by virtue of the homotopy groups of Ravenel spectrum, sphere spectrum with the Bousfield functor action；Finally, to study the convergence of h_0h_n (n<5) in the Adams spectral sequence.

球面稳定同伦群的研究是同伦论的中心问题之一，也是世界公认的经典难题。以Adams谱序列、Adams－Novikov谱序列为工具发掘出了球面稳定同伦群中的许多非零元素，新元素的发现对于我们更好的了解和研究球面稳定同伦群有不可替代的价值。目前，在研究球面稳定同伦群的工作中，仍然有很多经典的问题等待我们去解决。本课题主要侧重以下四方面：一，在Adams谱序列中，利用希腊字母类元素，得到了许多乘积元素族的收敛性。但这些结果要求下标小于素数p，拟打破这一限制，得到更广范围的希腊字母类乘积元素族在Adams谱序列中的收敛性；二，发掘新的a_0相关元素，以此作为几何输入来寻求球面稳定同伦群新元素族；三，利用Ravenel谱，球谱的Bousfield局部化的同伦群来逼近球面稳定同伦群；四，探讨h_0h_n（n<5）元素在Adams谱序列中的收敛性。

第一，开展球面稳定同伦群中非平凡元素的发掘与研究。同伦群的计算一直是代数拓扑的重要问题，也是难题。对于简单的拓扑空间 S^0 来说, 也很难决定它的稳定同伦群\pi^s_k (S^0). 目前, 已经有了很多结果, 但是距离问题的解决还有很大差距，并且大部分结果是在滤子的取值范围较小的情况下。本课题对此方面研究的结果分为三大类, 结果如下：.（1）首先, 针对如何在计算过程中扩大滤子的取值范围, 并且不至于使得计算变得过于复杂。我们根据计算的特点, 提出了次数方程和次数矩阵的概念，并作为例子, 给出了某些重要乘积元素的非平凡性。.（2）其次, 对于滤子范围暂时无法扩大的元素, 本课题对于它们的非平凡性也给出了一些结果。特别的, 这里面还涉及了针对第四希腊字母类乘积元素的一些讨论。.（3）最后, 由于有关EXT 群的结论是探究球面稳定同伦群的重要数据, 所以本课题还给出了一些主要针对 EXT 群的一些结果, 这些结果对今后的研究有重要的意义。.第二，根据文献得到的同胚和微分同胚的一些例子，将 Bruckmann 教授关于存在任意多个同胚 (微分同胚) 复 2， 4 维 (3 维) 完全交的，但其模空间维数不同的结论 推广到了复 5， 6， 7 维 。.第三，针对协边理论的重要问题, 即Steenrod 提出的给定不动点集后的对合流形分类问题, 给出了一个结果。