非完整系统及可积方程的代数描述和几何应用

We will discuss three new topics in the studies of integrable systems. Firstly, we generalize finite dimensional nonholonomic systems, which is a very important in the studies of classical mechanics. We plan to develop an infinite dimensional analogy of nonholonomic mechanics, by importing the Lagrangian and Hamiltonian methods of finite dimensional nonholonomic mechanics to the infinite dimensional case. Secondly, by introducing the concept of skew-Laurent series, we propose a unified algebraic description for integrable equations constructed from pseudo-differential/difference/q-deformed/Moyal-deformed operators. Next, we plan to develop software programs,and apply the concept of skew-Laurent series to the symbolic computations of various types of integrable equations. Thirdly, we plan to study the relationship between integrable models with self-consistent sources and the motion of curves, as well as the generalized Kupershmidt deformation and the Rosochatius deformation for discrete integrable systems.

我们将探讨可积系统研究中的三个新问题。第一，推广在经典力学的研究中非常重要的有限维非完整系统。通过将有限维非完整力学中的Lagrange和Hamilton表示推广到无穷维情形，我们试图发展无穷维的非完整力学理论。第二，通过引进斜洛朗级数的概念，我们试图给出拟微分/差分/q-形变/Moyal-形变可积方程的统一的代数描述方法，进而开发软件程序，将斜洛朗级数概念应用到各种类型可积方程的符号计算。第三，我们将研究带源可积模型与曲线运动的关系，以及离散可积系统的Kupershmidt和Rosochatius形变等。

本项目的部分研究内容进行了调整。在镜对称理论中，Eynard-Orantin 拓扑递推关系正在成为理解镜对称的有利工具。这是比无穷维非完整系统更为引人关注的问题。为此，本项目的其中一项研究内容从无穷维的非完整系统改为 Eynard-Orantin 拓扑递推关系以及量子曲线。我们证明了轨形 Hurwitz 数的生成函数（Laplace 变换）满足 r-Lambert 曲线的 Enyard-Orantin 拓扑递推关系；给出了从经典曲线构造量子曲线的一种方法。基于本项目所提出的另外一项研究内容：斜洛朗级数及其符号计算实现，我们用 AXIOM 语言实现了可进行斜洛朗级数符号计算的软件包，并且实现了拟微分/差分/q-形变/Moyal-形变等可积系统的符号计算。此外，我们还研究了扩展 KP，BKP 方程族的双线性恒等式以及 Hirota 双线性方程；研究了离散系统的Kupershmidt形变；研究了带自相容源的离散 KP 方程和高维离散 KP 方程的关系，以及从 Hirota 方程和平方特征函数对称如何得到带源的离散 KP 方程等。