共形几何与液晶问题中的偏微分方程

This project includes two topics: one is concerned with some conformal geometric flows in geometric analysis. Building on our previous works (Invent. Math., 187 (2012), no.2, 395-506； J. Func. Anal. 261（2011,934-980) and others',we focus on the scalar curvature flow on the round spheres of low dimensions and Q-curvature flow on all even dimensional round spheres by admitting changing signs curvature candidates. Moreover, we expect to do some efficient attempts to the famous "fourth order Yamabe problem" in conformal geometry. The other one is devoted to the study of nonlinear wave equation/system, which arises from the investigations on nematic liquid crystals. For the Cauchy problem of this equation/system, the most interesting problem in mathematics is to prove the existence of global weak solutions in the case of 1-D space variables and the existence and regularities of short time solutions in the case of 2-D or 3-D space ones.

本项目包含两个子课题:一个课题是致力于几何分析中的一些共形几何流的研究。基于我们已有的工作（Invent. Math., 187 (2012), no.2, 395-506； J. Func. Anal. 261 (2011), 934-980）和其他人的工作,我们集中于低维标准球面情形的纯量曲率流的研究以及所有偶数维标准球面上的Q-curvature流的研究。此外,我们期待能够在著名的"四阶Yamabe问题"上做出一些有益的尝试。另外一个课题是致力于向列液晶问题中所诱导的非线性波方程(组)的研究。对于此方程(组)的Cauchy问题,数学上最令人感兴趣的问题是证明一维空间变量情形下的全局弱解的存在性以及高维(二维、三维)空间变量情形下的短时间解的存在性和正则性。

在本项目中，我们主要致力于研究共形几何中的问题。我们采用几何流的方法来研究共形几何中的预定曲率问题。首先我们利用Q-曲率流的方法来研究单位球面上具有变号预定曲率函数的Q-曲率问题。接着我们利用纯量曲率流／共形平均曲率流来研究具有负共形不变量的紧流形上的相应的预定曲率问题。第三项工作是我们首次来研究GJMS算子的一些分析性质，得到了Einstein流形上预定Q-曲率问题的一些结果。第四项工作是我们首次引入并研究Q-曲率孤立子，同时得到了一些平行于Ricci及Yamabe孤立子的结果。第五项工作是我们使用纯量曲率与平均曲率混合流来研究具有负的共形不变量的带边紧流形上的对应预定曲率问题。基于上述工作，我们在未来会更加深入研究这些问题，例如研究具正的共形不变量的带边紧流形上的纯量曲率与平均曲率混合流等。