广义对称，分数阶可积系统和不等式的研究

This projiect mainly studies the following contents. (1) The definitions, properties and computation methods for the fractional contact symmetry, Lie-Backlund symmetry and nonlocal symmetry are presented and the estimates of the maximum dimension of the invariant subspace are solved. Then the generalized symmetry theory of fractional differential equations is established. (2) Fractional differential equations of some general forms are classifed by using the structure theory of abstract Lie algebras to construct the fractional integrable systems and study the fractional Lax pairs, fractional Backlund transforms. (3) Craddock method is established for the initial value problem of fractional differential equations, and the fundamental solutions and the Hardy-type inequalities are interpreted by generalized symmetries. This project has rich theoretical connotation and deep physical background. The results will enrich the theory of symmetry group and integrable system and lay the foundation for future research in related fields.

本项目主要研究：(1) 首先阐明分数阶切对称、Lie-Backlund对称和非局部对称的定义、性质和计算方法并给出不变子空间的最大维数估计，进而系统地建立分数阶微分方程的广义对称理论。(2) 结合抽象Lie代数的结构理论，对一般形式的分数阶微分方程进行广义对称群分类，进而构造分数阶可积系统并研究容许的分数阶Lax对、分数阶Backlund变换等。(3) 建立分数阶微分方程初值问题的Craddock方法，给出基本解和Hardy型不等式的广义对称解释。 本项目研究的问题具有丰富的理论内涵和深刻的物理背景。成果将充实微分方程的对称群理论和可积性理论，为今后相关领域的研究奠定基础。

本项目已经完成，主要得到如下的成果：.[1] 完善了非线性发展方程的广义对称理论，主要包括：给出了KdV型、mKdV型和Schrodinger型方程可变量分离的分类，再利用Bell多项式首次从反问题的角度出发给出了统一构造方法；给出了三阶广义Harry-Dym型方程的不变子空间的完全分类，从而可以精确求解或者可以分析其爆破、熄灭等动力学行为；结合抽象Lie代数的结构理论，给出了任意阶的Toda型方程和方程组的低维Lie群分类；给出了在Riemann-Liouville定义下的分数阶KdV型方程的Lie群分析，并给出了分数阶方程的广义对称理论和初值问题Craddock方法的计算框架。成果已发表在《Rep. Math. Phys.》、《J. Nonl. Math. Phys.》、《Acta Math. Appl. Sinica》和《Appl. Math. Compu.》上。.[2] 从Lax对出发在屠格式中引进试验函数，构造了新的可积梯队并建立了可积耦合系统的完备化理论。构造了基于sl(2, R)的WKI和多分量AKNS，基于so(3, R)非对称的AKNS、KN和WKI，基于so(4, R)的AKNS、KN和WKI可积梯队，该方法也适用于分数阶方程。成果已发表在《Rep. Math. Phys.》、《Commu. Nonl. Sci. Nume. Simu.》和《Math. Meth. Appl. Sci.》上。.[3] 建立了空间曲线运动的几何理论和Coupled Dispersionless方程的联系，进而利用Hodograph变换给出了相应的Short-Pulse可积方程的几何解释和多孤子解。成果已发表在《Stud. Appl. Math.》和《J. Nonl. Math. Phys.》上。. 上述成果主要以10篇SCI和1篇A类论文的形式发表。. 项目组成员共参加了8次国内外相关的暑期学习班和学术会议。. 项目组和美国得克萨斯RGV大学Baofeng Feng教授、日本神户大学Y. Ohta教授和美国南佛罗里达大学Wen-Xiu Ma建立了长期的科研合作关系。. 已经招收6名应用数学研究生从事可积系统研究，其中已经毕业1名研究生。