量子随机游荡与量子Bernoulli噪声

Quantum random walks (also known as quantum walks) are quantum analogues of classical random walks. As a new type of mathematical structure, quantum random walks have found applications in many fields of quantum information theory, such as quantum algorithm engineering, quantum simulation, and universal quantum computing. Quantum Bernoulli noise is a discrete-time analogue of the quantum white noise. In this project, we would like to further develop the theory of quantum Bernoulli noise, and study its application to quantum random walks (including both unitary ones and open ones) as well as some other problems in mathematical physics. The project strongly involves many research fields in mathematics, physics and quantum information theory. Its major novalty lies in that we propose a quantum Bernoulli noise approach to quantum random walks.

量子随机游荡（又称量子游荡）是经典随机游荡的量子类似物。作为一种新型数学结构，量子随机游荡已被应用于量子算法工程、量子模拟以及普适量子计算等量子信息理论的诸多方面。量子Bernoulli噪声是量子白噪声的离散时间类似物。本项目旨在发展和完善量子Bernoulli噪声的理论与方法，并研究它们在量子随机游荡（包括酉量子随机游荡和开放量子随机游荡）和其它数学物理问题中的应用。本项目的研究内容涉及数学、物理和量子信息等学科领域，相互交叉性强、综合程度高，其主要创新之处在于提出了将量子Bernoulli噪声应用于量子随机游荡的研究构想。

作为一种新型数学结构，量子随机游荡已被应用于量子算法工程、量子模拟以及普适量子计算等量子信息理论的诸多领域。Bernoulli噪声泛函本质上属于Bernoulli过程的泛函，可视为Gauss白噪声泛函的离散情形类似物。作用于Bernoulli噪声泛函的湮灭和增生算子（简称Bernoulli湮灭和增生算子）构成量子Bernoulli噪声，它们满足等时典则反交换关系（CAR），在物理上可用于描述开放量子系统的环境效应。本项目主要研究了一类作用于Bernoulli噪声泛函的（广义）算子及其在量子随机游荡建模以及其它数学物理问题中的应用，主要进展包括：在Bernoulli噪声泛函的框架内，利用量子Bernoulli噪声引入了加权计数算子的概念，获得了此类算子的谱分解公式，并建立了它们与Bernoulli湮灭和增生算子之间的交换关系；将上述加权计数算子的概念进一步推广到了Bernoulli噪声广义泛函的情形，引入了广义加权计数算子的概念并刻画了它们的分析和代数性质；引入了Bernoulli噪声广义泛函关于谱测度的积分运算，建立了相应的积分收敛定理；使用所引入的加权计数算子证明了生成元的耗散项由量子Bernoulli噪声表达的一类量子排它半群的存在性，考察了其的动力学行为，并刻画了其Decoherence-free子代数的特征；以所引入的加权计数算子为主要工具，研究了一类系数由量子Bernoulli噪声表达的排它型随机Schrodinger方程，建立了其正则解的存在唯一性定理；证明了在较为一般的初始态下一维QBN游荡仍然具有与经典随机游荡相同的极限概率分布；构造了与一维QBN游荡共享同一个内部自由度空间的高维QBN游荡模型，考察了其极限概率分布；以局部化的量子Bernoulli噪声为主要构件构造了一类完全正的量子信道（开放量子随机游荡），应用量子熵和量子测量的观点考察了其特性；获得了其它相关成果。