数据集配准问题的Lie群方法研究及其应用

数据集配准问题是从模式识别、计算机视觉、计算几何等应用领域中抽象出来的一类重要的数学问题。它考虑的是两个抽象数据集之间的空间位置关系和几何形状的相似性。近年来，已经成为人工智能和计算机应用领域中的热点研究课题。然而，现有的方法基本上都围绕着由预先设定的变换类型所确定的某类配准问题而展开的，紧密结合了该变换类型的性质，因而缺乏向其它类型变换的推广性。本项目拟从变换集在几何上都构成Lie群这一事实出发，建立起数据集配准问题一个全新的Lie群参数化方法，使得数据集配准问题研究与Lie群约束优化问题研究有机地统一起来，形成配准问题研究的全新理论框架。进一步，在统一的理论框架下内在地讨论各参数在配准过程中的意义、合理地提出参数约束条件以及通过灵敏度分析讨论各参数对算法的影响。使得配准问题的研究定量化。并在此基础上提出全新的配准算法，最终将得到的各类型算法落实到具体的问题之中。

本项目针对数据集配准问题建立了全新的Lie 群理论框架，将各种配准问题统一为某类Lie群上的极小化问题进行分析与讨论。首先，将刚性配准与尺度配准的Lie群方法推广到仿射配准问题，并结合仿射群的几何与代数结构以及Iwasawa分解对参数引入合理约束与初始估计方法，从而得到了更为精确和鲁棒的仿射配准算法——LieICP算法。其次，在Lie群描述的框架下，讨论了线性配准问题中目标函数对算法精度和鲁棒性的影响。特别地，通过将期望极大化（EM）模型引入配准模型，提出了一个适用于具有较大噪声和含有异常点的数据集精确配准算法——Lie-EM-ICP算法。另一方面，通过引入一个自适应的裁剪策略，提出了一个适用于两个仅有较小重叠的数据集的配准算法——LieTrICP算法。再次，基于配准问题的Lie群方法理论框架，我们继续将线性配准问题推广到非线性配准问题，形成了基于微分同胚群表示的配准算法。在此基础上，结合图像流形（即微分同胚群的轨道）上图像分布信息，给出了克服有较大差异图像间配准的不精确问题，并得到了求解图像标准化问题的HUGS算法。此外，为了提高配准精度，我们还提出基于特征的配准方法。而图像的轮廓是其重要特征，因此基于图像分割的GAC模型和CV模型，我们将共轭梯度算法引入到相应分割模型的求解。最后，我们将得到的算法分别应用于二维形状配准、三维深度数据配准、三维重构、遥感数据的配准和医学图像（特别是大脑MR结构图像）配准与标准化等问题之中。