两类非线性弹性动力学问题径向振动解的定性和定量分析

The stability problems of hyperelastic materials and structures have attracted widely attention of people, where rubber and rubber-like materials are the typical represents of these materials. This item is to study the radially finite oscillation problems of spherical structures and cylindrical structures composed of incompressible and compressible materials by using and improving the theory of nonlinear dynamics, where these structures are subjected to constant loads or dynamic loads related to time, such as time step loads, periodic loads or stochastic loads, and so on. The concrete contents are as follows: (1) For incompressible materials, study the mechanic characteristics of structures subjected to dynamic loads related to time; (2) For compressible materials, study the mechanic characteristics of structures subjected to (i) constant loads (ii) dynamic loads related to time. Firstly, this item will carry out qualitative analysis and quantitative analysis of solutions for the reduced autonomous (or nonautonomous) nonlinear ordinary differential equations; Secondly, will give the conditions determining the forms of motion, such as periodicity, quasi-periodicity, non-periodicity or chaos, and will discuss the influences of loading forms, material parameters and structure parameters on the dynamic characteristics in detail; Finally, will give the relative numerical examples. The above research results not only can enrich the theory of nonlinear dynamics and the methods for solving nonlinear differential equations, but also can analyze and predict the reliability and stability of the related structures in applications theoretically.

以橡胶和类橡胶材料为主要代表的超弹性材料和结构的稳定性问题一直是人们关注的焦点。本项目拟运用并发展非线性动力学理论，分别研究不可压缩和可压缩超弹性材料组成的球形结构和柱形结构在定常载荷和与时间相关的动载荷（如时间阶梯载荷、周期载荷、随机载荷等）作用下的有限振动问题。具体研究内容如下：（1）对于不可压缩材料，研究与时间相关的动载荷作用下结构的力学特性；（2）对于可压缩材料，分别研究（i）定常载荷(ii)与时间相关的动载荷作用下结构的力学特性。首先对约化后求得的自治（非自治）的非线性常微分方程进行定性分析和定量分析，然后给出结构随时间演化产生周期性、拟周期性、非周期性、混沌等运动模式的条件，讨论载荷形式、材料参数、结构参数对结构动力学特性的影响，最后给出相应的数值算例。上述研究内容不但可以丰富非线性动力学理论和非线性微分方程的解法，还可以从理论上分析和预报相关结构在应用中的可靠性和稳定性。

本项目的具体研究内容如下：（1）研究了由几类经典的不可压缩超弹性材料组成的球型结构和柱型结构在定常载荷和周期载荷作用下的非线性振动问题。首先利用非线性动力学理论建立了数学模型，进而对求得的自治（非自治）的非线性常微分方程进行了定性分析和定量分析，然后给出了结构随时间演化产生周期性、拟周期性、混沌等运动模式的条件（特别是混沌现象，虽然混沌在其它领域已经得到广泛的研究，但在超弹性动力学领域，几乎所有的研究都集中在周期性或准周期运动上，关于混沌现象的研究还很少见），讨论了载荷形式、材料参数等对结构动力学特性的影响，最后给出了相应的数值算例；（2）研究了由一类可压缩超弹性材料组成的圆柱管的径向和轴向对称运动问题。首先利用Hamilton原理给出了描述结构运动的控制方程组，是一类耦合的非线性发展方程组，进而利用行波变换对其进行约化，最后给出了不同参数空间下方程组的解的定性分析以及不同形式的行波解，并给出了数值算例。上述研究内容不但丰富了非线性动力学理论和非线性微分方程的解法，还从理论上分析和预报了相关结构在应用中的可靠性和稳定性。