非线性波方程的可积性与孤子动力学研究

针对非线性科学中出现的大量非线性波方程，研究其可积性、求得其具有物理意义的精确解、并分析这些解的动力学行为是当前国内外学术界十分活跃的研究课题。本课题首先发展延拓结构方法，使其能够研究更多类方程的Lax可积性。在此基础上，研究一维广义耦合非线性薛定谔方程的Lax可积性分类；建立一维半离散、离散和高维延拓结构理论，并对相应的方程进行Lax可积性分类。其次，基于仿射曲面理论研究非线性波方程与局部几何曲面之间的联系，探索具有高阶谱问题的非线性波方程的几何可积性。最后，对于可积非线性波方程，将进一步发展有效的Riemann-Hilbert方法研究其初边值问题，求得物理上重要的孤子解；将解析计算与数值模拟相结合研究非可积玻色-爱因斯坦凝聚模型的精确解和孤子动力学行为。本课题将在一定程度上完善孤立子理论与可积系统，促进其对非线性科学、工程技术等领域的应用，具有重要的理论意义和应用价值。

本项目基于延拓结构方法、Riemann-Hilbert方法、相似变换法和数值模拟等研究了几类重要的非线性波方程的可积性分类、精确解和动力学性质。取得了以下研究成果：（1）发展延拓结构方法研究了高阶变系数非线性薛定谔方程、变系数耦合非线性薛定谔方程和高阶耦合非线性薛定谔方程的Lax可积性分类，利用Riemann-Hilbert方法得到了其N-孤子解，并分析了解的动力学性质。（2）将解析计算与数值模拟相结合研究了简谐势和非简谐势作用下时空调制非线性的旋转玻色-爱因斯坦凝聚体、具有二体和三体相互作用的玻色-爱因斯坦凝聚体和自旋1的玻色-爱因斯坦凝聚体等的物质波孤子和动力学行为，发现了新奇的量子态和相互碰撞等物理现象。（3）基于仿射曲面理论研究了非线性波方程与局部几何曲面之间的联系，探索具有高阶谱问题的Degasperis-Procesi和5-阶KdV方程的几何可积性；另外，研究了Black-Scholes方程的李对称群、对称约化和精确解。