耗散型动力系统吸引子的正则性研究

This project is to study the regularity of attractors for dissipative dynamical systems, we consider the optimal regularity of attractors with the different external forces and the different nonlinear effect on the regularity, meanwhile, we also study the different boundary effect on the regularity. In applications, we will explore different nonlinear evolutionary equations, especially those with critical nonlinearity (such as critical wave equation, nonclassical diffusion equation, reaction-diffusion equation and so on), and dissipative equations with different nonlinear boundary condition. As an application of the regularity, we hope to consider the existence of attractors and estimates of their dimension(the existence of exponential attractors), to establish the relation of attraction of different regular spaces and the upper semicontinuity of attractors. These problems are key and active in dynamical systems, these problems are more helpful for further understanding the structure of attractors.

本项目主要研究耗散型动力系统吸引子的正则性性质，包括在不同外力项条件下吸引子可能达到的各种最优正则性，耗散性不同的非线性项对正则性的影响，以及各种不同的边界条件对正则性的影响。在具体应用方面，我们将重点考察各种具体的非线性发展方程，特别是各类临界指数问题（如临界波方程、非经典扩散方程、反应扩散方程等），以及带有各种不同的非线性边界条件的耗散方程。作为正则性在动力系统中的应用，将重点考虑吸引子的存在性及其维数估计（指数吸引子的存在性），不同正则空间中吸引性的联系，吸引子的上半连续性等问题。这些问题是无穷维动力系统的主要问题和活跃问题之一，对进一步深入研究吸引子的几何拓扑结构有着重要的理论和实际意义。

按照本项目的研究计划，我们主要研究了耗散型动力系统吸引子的正则性性质。在理论方面，我们从吸引子的渐近正则性着手，考虑了不同外力项条件下吸引子可能达到的各种最优正则性，耗散性不同的非线性项对正则性的影响，以及各种不同的边界条件对正则性的影响。在应用方面，对于一类带有非线性边界条件的反应扩散方程，我们加强了对内部非线性项与边界非线性项平衡关系的分析, 得到了解的最优的渐近正则性估计，从而很容易得到吸引子的存在性和指数吸引子的存在性。关于一类带有动力边界的 p-Laplacian 方程，我们重点讨论了非自治情形，当内部非线性项和边界非线性项仅满足一般的增长条件时，我们运用新的先验估计技巧，得到了在高正则空间中一致吸引子的存在性及其结构性定理。当外力项仅仅满足一类弱可积条件时，我们得到了在正则空间中拉回吸引子的存在性。关于一类非自治吊桥方程，当外力项满足一类非平移紧的条件时，我们得到了在正则空间中一致吸引子的存在性。对于一类 p-Laplacian 系统，我们得到了非平凡解的存在性，及其解的先验估计。对于一类 Holling-II 型功能反应函数的空间非齐次的捕食者-食饵系统，我们研究了解的动力学行为。同时，项目组成员温紫娟博士重点研究了强耦合的反应扩散系统解的长时间行为。