基于电磁场传播的特征值问题的计算及应用研究

This project concerns with the generalized eigenvalue problems from the electromagnetic wave propagation arising in material science. The efficient computations for such kinds of problems are of great importance to the full understanding on the media and wave propogation properties. From the mathematical points of view, these problems are related to the efficient computations of generalized and nonlinear eigenvalue problems of large-scale. By discretizing the continuous generalized Maxwell system, we firstly establish the approximate discrete model based on the boundary conditions and media properties in finite dimensional space. For this discrete model, we then propose a computational scheme which can catch the minimum nonzero eigenvalues automatically using the related matrix theory. Such eigenvalues provide the numerical basis on the photonic crystals. For a class of transmission eigenvalue problems arising in the scattering of electric magnetic fields, we develop an efficient scheme computing the nonzero real eigenvalues and the corresponding eigenvectors. These results ensure the efficient implementations on some recently developed reconstruction schemes in inverse scattering problems. Finally, based on the numerical results obtained, we propose some efficient scheme for designing the new photonic crystal material with the largest band-gap. These results are important for the material science.

本项目研究由新型材料中的电磁波传播问题引起的特征值问题。这类问题的有效数值求解对理解新型材料的介质机理和传播特性具有重要的意义，数学上对应于一类大规模广义或非线性特征值问题的有效计算。通过对广义Maxwell方程组连续模型的有效离散，首先建立了有限维空间的基于边界条件和介质内部性质的逼近模型。对此模型，进而利用矩阵计算的相关理论和现代方法，提出了一类自动计算最小非零实特征值的方法，该类特征值提供了光子晶体材料能带结构计算的数值基础。同时对电磁波散射中出现的一类透射特征值问题，研究了非零实特征值及相应特征向量计算的有效数值方法，该结果保证了新近发展的一类逆散射重建方法的有效实现。最后，利用这些有效的数值算法，提出了通过模拟介质特性进而设计出具有最大光子禁带宽度的参数分布的晶体材料的方法，本结果对材料科学中新型材料的设计具有重要的指导意义。

本项目主要研究由新型材料中的波场传播问题引起的大规模特征值问题，这类问题的有效数值求解对理解新型材料的介质机理和传播特性具有重要的意义，数学上对应于大规模的具有特殊结构特征的广义或非线性特征值问题的有效计算。我们按照原定计划开展了研究，对14 种布拉维晶格结构的各向同性三维光子晶体材料的能带结构计算发展了快速算法，结合GPU计算技术，搭建了高性能数值仿真平台；对三维手性光子晶体材料的波场传播行为进行了计算和分析，该研究对光子晶体材料在隐身领域的应用提供了理论基础；对各向异性三维光子晶体的 Maxwell 方程组模型发展了有限元离散方法，并提出了相应的快速算法；对 TM 模的电磁场建立了 Tellegen 模型和Pseudo-Chiral模型，对相应的透射特征值问题发展了求解少量最小正特征值的割线法和求解大量实特征值的Jacobi-Davidson 方法，并利用求得的特征值建立了反演散射体区域边界的数值方法。期间，我们还研究了其他相关的矩阵特征值计算问题，包括对来自量子物理学领域的线性响应特征值问题和 Bethe-Salpeter 特征值问题发展了两类分别用于中小规模和超大规模的保结构算法；对一个四阶含参数的微分方程解的存在性给出了理论证明；对一个广义代数Riccati方程发展了保结构的加倍算法，通过对子空间进行分离再组合的技巧精确地求解了该方程的稳定解。在本项目的支持下，我们取得了一系列研究成果：完成了 11 篇相关的学术论文，已发表论文 9 篇，其中SCI收录 8 篇；培养了 10 名研究生，其中硕士生 6 名，博士生 4 名；在 2018 年成功举办了"世界华人数学家联盟2018计算与应用数学会议”(ICCM 2018 Workshop on Computational and Applied Mathematics)。基于本项目的工作基础，项目组成员在2016和2017年成功申请到国家自然基金-青年项目2项和面上项目1项，申请人获得2017年世界华人数学家联盟最佳论文奖—若琳奖，与兄弟院系合作申请了GPU 高性能计算在国家电网系统中的应用的横向课题，推进了交叉学科的发展。