相对论量子力学中部分精确可解问题的研究

In relativistic quantum mechanics, a very few classes of the Dirac equation and Klein-Gordon equation with equal scalar and vector potentials can be exactly solved, thus it is only possible to obtain the information of the particle in a few potential fields. In order to explore the properties of the particle in more potential fields, we will investigate the quasi-exactly problems in the relativistic quantum mechanics. We will study the conditions under which parts of the solutions are analytic for the Dirac equation and Klein-Gordon equation with equal scalar and vector potentials, and trying to obtain the general form of the potential field in the quasi-exactly solvable problem; We will also analyze the algebraic structure of the Hamiltonian, and solve the energy spectrum and eigenfunctions for parts of the bound states, in order to get the information of the particle in more potential fields.

在相对论量子力学中，标量势和矢量势相等条件下的能够精确求解的Dirac方程和Klein-Gordon方程很少，只能得到有限个势场中的粒子信息。为了探讨粒子在更多势场中的性质，本课题研究相对论量子力学中的部分精确可解问题，寻找标量势和矢量势相等时Dirac方程和Klein-Gordon方程存在部分解析解的条件，旨在得到部分精确可解问题中势场的普遍表示形式；同时，分析哈密顿量的代数结构，求解部分束缚态的能谱和本征函数，以获得更多势场中的粒子信息。

本项目基于相对论量子力学中能够精确求解的波动方程很少的问题，研究了其中的部分精确可解问题，得到了标量势和矢量势相等情况下，相对论波动方程存在部分解析解的条件，即得到了部分精确可解问题中势场的普遍表示形式，为研究更多势场中粒子的性质提供依据。在此基础上，我们进一步研究了平面类氢原子在非均匀磁场中的运动，通过求解波动方程，得到了精确可解问题和部分精确可解问题。因此，对类氢原子在非均匀磁场中运动的研究丰富了量子力学中的精确可解和部分精确可解问题的物理模型。