新型有限体积元方法及其在随机地球流体力学中的应用研究

Numerical weather forecast is one of core problems in computational geostrophic fluid dynamics. The uncertainty of numerical predition has greatly caused inaccurate weather prediction. It is a significant subject to study the factors and mechanisms that yield the uncertainty of numerical predition and develop new methods to reduce the uncertainty. The modeling of atmospheric motion can be described as nonlinear stochastic partial differential equations. This proposal will focus on stochastic qusigeostrophic equations to develop new numerical algorithms that can reveal atmospheric nonlinear and stochastic natures and provide long term accurate predictions; to develop approximate theory and numerical analysis of the new numerical algorithm. The proposed new methods will be based on stable and energy conservative finite volume element methods that not only keep phyical properties, but also efficiently process substantial numerical computational loads which comes from higher dimensional problem of probability space. Then we can seek the applications of new method in practical prediction, search mathematical methods which reduce uncertainties of numerical prediction,to provide new ideas for designing effective, accurate and stable numerical prediction modeling, and improving accuracy rate of numerical prediction in our country.

数值天气预报是计算地球流体力学中的核心问题之一，数值预报结果的不确定性在很大程度上造成了气象预报不准确。研究预报结果不确定性产生的原因和机制，寻找减小不确定性的方法和途径是非常有意义的课题。大气运动模式可以描述为非线性随机偏微分方程组。本项目重点以随机准地转(QG)方程组为研究对象，发展可揭示大气非线性本质、适合随机大气模式的、稳定且能长时间准确积分的数值算法的新逼近理论和数值分析；设计和构造在保物理性质的同时，可以对概率空间高维性产生的大量数值计算进行高效处理的新型能量守恒有限体积元方法，从而探求新方法在实际预报业务中的应用，寻找减小数值预报不确定性的数学方法，为我国设计高效、精确、稳定的数值预报模式，提高预报准确率提供新的思路。

本项目研究新型有限体积元方法及其在随机地球流体力学中的应用，具有非常重要的科学意义和实际价值。项目的主要基础理论研究内容涉及随机准地转流(QG流)的新型有限体积元方法的构造和在弱正则条件下(如界面和奇异情形)，离散问题解在概率空间和物理空间意义下的逼近理论和数值分析。应用理论研究内容着重将新型有限体积元方法应用于球面上随机QG方程的数值模拟。在国家自然科学基金资助下，主要取得了如下重要的研究结果。对于大气和海洋科学中球面上的准地转方程，针对具有实际意义的随机初始态情形，我们设计了守恒有效的傅里叶有限体积元方法，该方法的最大优点是能够保持系统的长时间的能量和涡度拟能的守恒性。对于随机椭圆界面问题，对物理空间构造了分片线性的浸入界面有限元方法，对随机概率空间基于Smolyak构造了稀疏配置方法。我们的新方法不仅可以克服随机问题不可避免的“维数灾难”问题，而且比传统的蒙特卡洛方法有明显的快速收敛性。针对一类椭圆界面问题的控制问题，基于辩分离散的概念，给出了浸入有限元方法关于状态方程、伴随状态方程和控制的在低正则条件下具有最优收敛阶的新结果。针对随机流体力学中遇到的奇异问题，我们利用Puiseux级数技巧，构造了奇异问题的高精度数值逼近复合公式，并证明了精确的余项公式。该方法可以有效处理在随机地球流体力学中常遇到的无穷限奇异积分，奇异和震荡傅里叶变换以及柯西主值积分等困难问题。对于较为复杂的Navier-Stokes流和Darcy流耦合的界面问题，我们提出从流体一侧在界面上强制不可压缩条件，虽然会导致增广变量的Schur补矩阵超定，但是最小二乘解被用于耦合问题，从而提高了流体速度场和压力场在界面附近的计算精度，得到了有效的数值模拟效果。课题组已经发表学术论文46篇，其中SCI论文37篇，其中在高水平学术杂志JCP，CPC, MC，JSC, NA, CF和SIAM JNA共发表7篇文章，圆满完成了预期的研究成果。