渐近锥流形上色散方程的研究

The purpose of this project is to use the tools of harmonic analysis, Fourier analysis and microlocal analysis to study the wave and the Schrödinger equation on asymptotically conic manifold. The asymptotically conic manifold is a complete non-compact manifold with boundary, which includes an important example the asymptotcial Eucidean space. This project contains three folds: (1) we aim to study the resolvent, spectural measure of the Laplacian operator on asymptotically conic manifold and the propagator of Schrödinger operator. The main difficulties is how to capture the size estimate and oscillatory behavior at each blow-up face. Since the Laplacian is non-elliptic near the boundary, the resolvent and spectural measure is a Legendre distribution not a Lagarangian. (2) the second aim is to use the bilinear argument to develop the resection estimates for wave and Schrödinger equation, which will be new result for restrciton on manifold. (3) we establish the global-in-time Strichartz estimate and Morawetz estimate to study the long-time behavior of the nonlinear wave and Schrödinger equations. The trapping or non-trapping geometric condition play roles in the study of the regularity of propagator.

本项目拟采用调和分析和微局部分析研究渐近锥流形（如：渐近欧氏空间）上具有重要数学物理意义的波动、Schrödinger方程。 内容主要涉及：(1)研究渐近锥流形上拉普拉斯算子的预解式、谱测度估计和解演化算子的性质。主要困难是如何建立在各个爆破面既有衰减控制又能刻画振荡性的表达式，这是因为渐近锥流形上的拉普拉斯算子不再是椭圆算子(在边界上消失)，其相应的预解式和谱测度是比 Lagrangian分布更复杂的Legendre分布。(2)建立谱分析工具并结合双线性技术研究渐近锥流形上波动、Schrödinger 方程所对应的傅里叶限制性估计的新结果。(3)建立整体Strichartz估计、 Morawetz 估计研究非线性色散方程的解的长时间行为（例如散射理论）；问题关键在于考察流形的几何性质(例如：trapping, non-trapping测地流) 如何影响波和薛定谔演化传播的正则性。

本项目针对非线性色散方程解的长时间行为的前沿问题，详细研究了渐近锥流形的几何性质如何影响具有重要数学物理意义的波动、Schrödinger方程解的存在性和散色理论。研究算子的谱测度是本项目的基础研究内容，同时也是谱分析领域的重要课题。本项目从渐近锥流形上拉普拉斯算子的预解式、谱测度估计出发，得到了谱测度的重要表达式，该该研究成果既刻画了其衰减性质又包含了振荡性质。通过该结果进而建立了整体Strichartz估计，并用于研究非线性色散方程的解的长时间行为；此外拓广考察了流形的其他几何性质(例如:trapping, non-trapping 测地流) 如何影响波和薛定谔演化传播的正则性。. 该研究结果在理论研究上具有重要科学意义。本项目所发展的新方法基于调和分析，谱分析和微局部分析方法之上，该方法能够处理原来方法处理不了的退化算子所带来的奇性。该方法不仅仅用于研究偏微分方程的核心问题（例如适定性问题），还可以开发建立流形上的调和分析工具。