范畴化量子力学中的表象及其变换的研究

Categorification is a hot topic of the researches of theoretical physics and fundamental mathematics in recent years. The process of categorification can help us discover new mathematical structures from the original ones. The categorifications of the existing physical theories can help us better understand the physics essence, and it may help us solve some remaining problems in the existing physical theories. Recent years, there are many literatures discussing the applications of category theories in fundamental physical theories, especially in the theories of quantum mechanics and quantum field theory. The researchers have obtained many significant results, and there are still many unsolved problems. In this project, we will study the theories of the representations in categorical quantum mechanics, including the 2-categorical descriptions of the usual quantum representations and their transformations. Furthermore, we will study the applications of categorified quantum representations in quantum physics. The research results of this project can help us develop the theoretical framework of categorical quantum mechanics, and deepen the understanding of the physical essence and mathematical foundation of quantum mechanics. On the other hand, these results will help us study the categorifications of other physical theories.

范畴化是近年来国际上理论物理和基础数学研究的一个热点。利用范畴化我们可以从已有的数学结构上得到新的数学结构，将现有的物理理论范畴化可以使我们更深刻的理解物理本质，并且有可能解决现有物理理论中存在的一些问题。近年来国际上已经有不少的文献探讨了范畴论在基础物理中的应用，特别是在量子力学和量子场论相关的领域，已经取得一些很有意义的成果，但同时也还有很多基本的问题需要解决。本课题主要研究范畴化量子力学中的表象理论，包括常见的量子表象以及表象之间的变换理论在2-范畴框架下的描述，还有范畴化的量子表象的物理应用。本课题的研究成果，一方面可以发展和完善现有的范畴化量子力学的理论框架，加深人们对量子力学物理本质和数学基础的认识；另一方面也为其它物理理论的范畴化研究提供一些理论依据。

范畴化是近年来国际上理论物理和基础数学研究的一个热点。利用范畴化我们可以从已有的数学结构上得到新的数学结构，将现有的物理理论范畴化可以使我们更深刻的理解物理本质，并且有可能解决现有物理理论中存在的一些问题。本项目主要研究量子力学中的算符和表象的范畴化描述，特别是群胚化形式的描述。我们构造了费米代数的群胚化描述，以及相关量子力学算符和表象的群胚化描述。本课题的研究成果，一方面可以发展和完善现有的范畴化量子力学的理论框架，加深人们对量子力学物理本质和数学基础的认识；另一方面也可以应用于量子计算和量子信息等相关领域的研究。