面向生物医学结构设计的non-Newtonian流体流动拓扑优化方法研究

Biomedical structural topology optimization, based on the principle of fluid flow in biological organs and mathematical optimization theory, is an important way to solve the problems in the biomedical structural design and develop novel biomedical structure. The topological derivative method is introduced to the level set topology optimization method to achieve the global optimization. In the project, a new topology optimization method and theoretical basis is developed for the non-Newtonian fluid flow in the biomedical structural design. Firstly, to obtain the minimum energy dissipation and the maximum shear stress, a mathematical model of topology optimization for non-Newtonian fluid flow is established for the specific biomedical structural design such as the bypass design of blood vessels or bile ducts. Secondly, the shape and topology sensitivity analysis for the established topology optimization problem are completed. The physical systems including the state equation and the conjugate equation are solved numerically using the finite element method in the unstructured grid. The numerical solutions of the level set equations are obtained using the finite difference method in the structured grid. Based on the spline-free re-meshing method, the combination of the level set function evolution and numerical analysis of the physical systems is completed. And then, the developed let set optimization method is extended to the general biomedical structural design. Finally, the effectiveness of the design method is verified by the numerical simulations and experimental measurements.

基于生物器官内流体流动原理和数学的最优化理论进行生物医学结构拓扑优化，是解决目前生物医学结构设计中存在的难题、发展新颖的生物医学结构的重要途径。本项目将拓扑导数方法引入到水平集拓扑优化中，着重发展一种面向生物医学结构设计的non-Newtonian流体流动拓扑优化方法。首先针对血管或者胆管旁路搭桥等具体的生物医学结构设计，以最小能量耗散和最大剪切应力为目标，建立non-Newtonian流体流动拓扑优化问题的数学模型。然后对此拓扑优化问题进行形状灵敏度分析和拓扑灵敏度分析，在非结构化网格上采用有限元方法数值求解物理场，在结构化网格上采用有限差分法求解水平集类方程，基于无样条重新网格划分方法实现水平集类方程求解与物理场求解的结合，进而完成水平集拓扑优化及其全局性研究。集成拓扑优化程序，并将其扩展到一般意义上的生物医学结构设计中。最后分别从数值模拟计算和实验的角度验证优化设计方法的有效性。

人工生物材料和人工生物器官的发展和普遍应用使得生物医学结构设计成为了重要的研究课题之一。许多生物医学结构内的生物医学流动介质符合非牛顿流体的特征，比如血液和胆汁等，而传统的生物医学结构设计多基于设计者的经验和直觉，不能充分合理考虑生物器官内部流动情况。进行基于非牛顿流体流动的生物医学结构优化设计对改善生物医学结构内的流动状况和提升器官功能作用等具有重要的理论意义和应用价值。本项目首先提出了一种无样条参数化网格重新划分方法（SFPRMM），既去除了繁琐的样条参数化过程，又能够保证所提取的边界具有足够的光滑性。其次通过分析隐式重新初始化方程中的光滑参数取值，得到了一种保持界面位置不动的隐式重新初始化方法，用以改进水平集方法。第三，采用发展的基于SFPRMM的水平集优化方法研究了牛顿流体单工况流动拓扑优化问题，并验证了方法的有效性。第四，运用基于SFPRMM的水平集拓扑优化方法研究了牛顿流体多工况流动的拓扑优化设计问题。分别介绍了Stokes和Navier-Stokes多工况流动拓扑优化问题。并给出了灵敏度分析过程。以粘性耗散最低为目标，研究了内流和外流两种典型的多工况流动算例。研究表明，多工况流动优化结果是综合考虑每个流动工况的最佳设计结果，而且更符合权系数较大的流动工况的流动。第五，采用基于虚拟材料法的水平集方法研究了非牛顿流体流动约束的血管架桥旁路设计问题，获取了优化问题目标函数下降的负梯度方向。数值算例研究了三个最小流动剪切率目标的血管架桥问题。数值结果表明，最优血管旁路构型具有较小的流动剪切率。最后，运用基于SFPRMM的水平集拓扑优化方法进行了滚式粘性微流泵的优化设计。流动的控制方程是具有幂率本构模型的非牛顿流体Navier-Stokes方程，拓扑优化的目标是泵流率最大和粘性耗散最小。采用基于水平集的离散灵敏度分析方法获取水平集函数的更新方向，研究了几个不同类型的粘性泵的设计问题。其中，优化得到的长I型粘性微流泵的质量流率比原有微泵提高了38.5%。本项目发展的基于非牛顿流体流动的拓扑优化方法为发展新型生物医学结构及其性能改进提供了重要的理论和技术支撑。