钩长公式及其相关组合问题研究

Hook-length formula holds an important position in algebraic combinatorics and enumerative combinatorics. Much of the importance of the hook-length formula arises from its connections to such branches of mathematics such as symmetric function theory and representation theory. Its nice form and incisive combinatorial interpretation have attracted interests of many combinatorists. In this project, we shall use the theory of hook-length formula, to study a conjecture concerned with the log-concavity of certain sequences related to longest increasing subsequences and a conjecture on the real-rootedness of the Kazhdan-Lusztig polynomials. Moreover, the project is focused on the hook-length formula for standard immaculate tableaux.

钩长公式是组合数学中非常基本和重要的研究对象，与对称函数理论、表示论、算法分析等多个数学分支都有紧密的联系。由于其简洁优美的形式和深刻的组合解释，国内外很多组合学家都曾对钩长公式的发展做出了重要贡献。本项目以钩长公式在代数组合学中的应用为出发点，具体研究与其相关的组合问题，包括陈永川教授关于最长递增子列对数凹性猜想及相关对称函数Schur正性猜想，K.Gedeon、N.Proudfoot和B.Young教授关于均匀拟阵上Kazhdan-Lusztig多项式实根性猜想，非交换对称函数理论中有序分拆钩长公式组合性质及对应钩容公式存在性问题。项目的开展有助于进一步加强组合学、表示论和分析学之间的联系。

钩长公式是组合数学中一类非常重要的公式，与对称群最长递增子列Schur正性猜想、拟阵Kazhdan-Lusztig多项式的组合性质刻画等方面都有非常紧密的联系。在本项目中，我们对钩长公式及其相关组合问题开展了研究，取得了一系列研究成果。具体内容如下：.（1）研究了Kazhdan-Lusztig-Stanley函数理论，引入了拟阵上的逆Kazhdan-Lusztig多项式的概念，解决了之前在确定拟阵Kazhdan-Lusztig多项式时，需要先猜测再验证这一问题。在此基础上，直接给出了均匀拟阵Kazhdan-Lusztig多项式的系数表达式；.（2）发现了关于均匀拟阵上的等变Kazhdan-Lusztig多项式与Thagomizer拟阵上的等变Kazhdan-Lusztig多项式之间的一个关系式。利用该关系式，解决了K.Gedeon提出的一个关于Thagomizer拟阵等变Kazhdan-Lusztig多项式系数的猜想；.（3）通过引入有限偏序集上的群作用，找到了一个可以直接计算拟阵等变Kazhdan-Lusztig多项式的方法。在此基础上，利用钩长公式、Schur函数和斜Schur函数之间的对应关系，给出了均匀拟阵Kazhdan-Lusztig多项式系数的组合解释，其为特定形状的斜标准杨表的个数；.（4）利用经典钩长公式并结合一定的代数技巧，证明了在对称群的某些特定集合中，关于最长递增子列长度的排列个数的生成函数是对数凹的，推广了M.Bóna、M.-L.Lackner和B.Sagan的结果。同时，通过对称函数理论中的指数型特殊化映射，将最长递增子列对数凹性猜想转化到对某些对称函数Schur正性问题的研究上，提出了一系列的对称函数Schur正性猜想；.（5）研究了排列中长度为4或5的偏序模型，得到了13种新的关于含有长度为4或5的经典模型的排列的计数结果，及一些关于含有任意长度的经典模型的排列的计数结果；收集了许多关于长度为4或5的禁排模型的计数结果，并构建了其中的联系；提出了6个相关猜想，均与OEIS上的序列相关。