解析函数空间上线性算子的等距性质研究

An isometry is a transformation which preserves the distance between elements of a space. And it's a transformation which preserves the norm in a normed space. As the study of isometry,we can well understand mathematical structure of the object of study. In this object, we will study properties of m-isometry, isometric equivalence and unitary equivalence of linear operators such as composition operators,Toeplitz operators and weighted composition operators. We will describe the properties of invariable subspace, cyclic of a m-isometry operator and product of two m-siometries. Also, we will study isometric linear operators on the Fock space. The researches of the object will enrich the studies of operator theory on the Fock space.

等距变换又称保距变换是保持度量空间中距离不变的变换，在赋范空间中即是保持范数不变的变换，等距的研究能使我们更好的了解研究对象的数学结构。本项目将在解析函数空间上对复合算子、Toeplitz算子、加权复合算子等线性算子的有界性、紧性、谱等的研究基础上对这类算子的等距性质如m-等距、等距等价、酉等价等进行研究。我们将给出复合算子等线性算子是m-等距时的循环性、不变子空间、两个算子乘积的m-等距性等的性质，从而得出复合算子的符号函数所满足的关系及算子本身所具有的特征。同时，我们还将对Fock空间上的线性算子是等距时的表达式进行推导，进而检验其上的线性等距是否也是加权复合算子的形式，进而丰富和完善Fock空间上的算子理论。

本项目“解析函数空间上线性算子的等距性质研究”属于算子理论与函数空间的研究范畴，主要研究解析函数空间上常见的线性算子如乘积算子、复合算子及加权复合算子等线性算子的等距性质。首先我们研究了复平面上的单位圆盘BMOA空间上的乘积算子和加权复合算子为等距时符号函数所满足的性质，及等距乘积算子和等距加权复合算子之间的关系。我们得出BMOA空间上的乘积算子是等距时，其符号函数的BMOA范数应为1，且除了平凡情况以外，其符号函数的形式为分式函数的形式。同时我们得出了BMOA空间上等距加权复合算子的乘子和复合的内函数之间的关系，同样有类似分式函数的形式。当复合算子和乘积算子都是等距算子时，相对应的加权复合算子是等距算子，但反之不一定成立。最后，我们研究了调和Hardy空间上的一类复合算子的性质，得出了其和解析函数空间上的复合算子的异同点。