有限环的代数结构与图结构

近些年来，有限域上的组合数学、有限几何、代数密码、代数编码和代数自动机等理论正在逐渐向有限环上扩张。有限域理论的研究已非常成熟，而有限环要丰富得多，其结构也更为复杂，研究更为困难。国内外对有限环的研究还不完善，还有许多重要的有限环（如：有限四元数环， 有限矩阵环，有限群环等）的结构和性质远未清楚，有待进一步研究。研究环的图结构是近几年的一个热门研究课题，其在环的分类、图的表示和现代通信网络中均具有重要作用。本项目主要利用环论、群论、图论、数论、组合数学和计算机算法相结合的方法同时研究有限环的代数结构和图结构。研究有限环的素谱、单位群、自同构群、K-群、模和同调维数；研究有限环的零因子图、交换图、映射图、单位Cayley图等的结构和性质；利用有限环的图结构来刻画有限环的结构、性质和分类；研究有限环在有限几何、代数编码和代数自动机等上的应用。同时通过该项目的研究培养更多高素质的数学人才。

近些年来，有限域上的组合数学、有限几何、代数密码学、代数编码和代数自动机等理论正在逐渐向有限环上扩张。有限域理论的研究已非常成熟，而有限环要丰富得多，其结构也更为复杂，研究更为困难。国内外对有限环的研究还不完善，还有许多重要的有限环（如：有限四元数环， 有限矩阵环，有限群环等）的结构和性质远未清楚，有待进一步研究。研究环的图结构是近几年的一个热门研究课题，其在环的分类、图的表示和现代通信网络中均具有重要作用。.项目组成员团结协作，积极开展研究，取得了超预期的研究成果。项目共发表论文59篇，其中SCI论文20篇，其他国际期刊论文4篇，中文核心期刊论文16篇，国内一般刊物论文19篇。研究成果主要包括以下几个方面：有限环的代数结构的研究，有限环的图结构的研究，有限群的性质及其图结构的研究，Morita Context 和形式矩阵环的研究。. 本项目主要利用环论、群论、图论、数论、组合数学和计算机算法相结合的方法同时研究有限环的代数结构和图结构。研究了一些环的素谱、单位群、自同构群、K-群、模和同调维数；研究了一些环的零因子图、交换图、映射图、单位 Cayley 图等的结构和性质；利用有限环的图结构刻画了有限环的结构、性质和分类；定义和研究了环上的n 阶形式矩阵环，系统研究了一类被称为唐-周环的形式矩阵环，给出了该类形式矩阵环在代数密码学上的一个应用。