状态依赖脉冲微分方程的几何性质研究及其应用

This proposal aims to study geometric properties for state dependent impulsive differential equations. The main tools include qualitative theories, stability theories and bifurcation theories. Using the Poincaré map and combing the geometrical constructions for phase spaces of autonomous differential systems, we plan to obtain sufficient conditions for existence and stability of periodic solutions. Based on the Lyapunov exponent, we will focus on the bifurcations with respect to some parameters. We then apply the theories to practical problems and discuss state dependent impulsive models in population dynamics, epidemics, pharmacokinetics and chemostat. Based on researches above, we hope to understand how the impulse will affect the dynamics of differential equations. This study will develop new theories on state dependent impulsive differential equations and thus has a great potential in practical applications.

本项目旨在利用定性理论、稳定性理论和分支理论研究一般的状态依赖脉冲微分方程的几何性质。利用 Poincaré 映射，结合平面自治系统相空间的几何构造，给出在子系统的平衡点分别为中心、焦点、结点和鞍点时对应的状态依赖脉冲微分系统周期解存在性、稳定性的充分条件；借助 Lyapunov 指数，研究选定控制参数后的分支问题。将理论成果应用到具体的生物模型当中，对种群动力学、传染病动力学、药物动力学和恒花器动力学中出现的各类状态依赖脉冲模型进行研究。通过对上述问题的研究，可以进一步揭示脉冲对微分系统动力学性态的影响，从而为人类更好地了解系统特性及其变化规律进而提出控制策略提供理论依据。本项目对于脉冲微分方程的发展和完善有着重要的理论与实际意义。

状态依赖脉冲微分方程在种群动力学、传染病动力学、药物动力学和恒花器动力学中均具有重要的应用。本项目综合运用定性理论、稳定性理论和分支理论研究了状态依赖脉冲微分方程的几何性质。利用 Poincaré 映射，结合平面自治系统相空间的几何构造，给出了一类具有非线性脉冲控制的捕食食饵模型周期解存在性的充分条件；借助差分方程的稳定性理论，研究了周期解的全局渐近稳定性。通过对上述问题的研究，可以进一步揭示非线性脉冲对微分系统动力学性态的影响，从而为人类更好地了解系统特性及其变化规律进而提出控制策略提供理论依据。本项目对于脉冲微分方程的发展和完善有着重要的理论与实际意义。