图的若干参数的反问题

In recent years, the inverse problem has been paid more and more attention, and we are frequently encountered the inverse problems both in learning and living. Inverse topological index and inverse eigenvalue are two kinds of typical inverse problems in graph theory. The project aims to give an in-depth study on these two kinds of problems. The concerned problems include the inverse topological index based on distance between vertices and vertex degree, the minimum rank and the minimum skew rank problems on graph products, the relationship between the minimum rank of positive semi-definite matrices and independence number of graphs, the inverse inertia problems for some simple structure graphs. The objective is, for the aforementioned problems, to propose novel analysis methods, to establish a set of relatively complete research project for inverse problem. The issues concerned in this project are novel, multi-disciplinary, and have potential applications.

近年来，反问题越来越受到人们的重视，无论是在学习还是在生活中都会遇到反问题。拓扑指数反问题与特征值反问题是图论研究中两类典型的反问题。本项目将对这两类问题展开深入的研究，研究的问题包括：基于顶点间的距离和顶点的度的拓扑指数反问题，乘积运算图的最小秩与最小斜秩问题，半正定矩阵的最小秩与图的独立数之间的关系，一些结构较简单图的反惯性问题。研究目标是，针对上述问题，提出具有原创性的分析方法，建立一套比较完整的研究反问题的方案。本项目选题新颖，学科交叉性强，应用背景广泛。

反问题通常体现了一种逆向思维。是“由表及里”、“索隐探秘”、“倒果求因”。现在，反问题的研究已经遍及现代化生产、生活、研究的各个领域。拓扑指数反问题与特征值反问题是图论研究中两类典型的反问题。本项目对这两类问题展开了深入的研究，研究的问题包括：基于顶点间的距离和顶点的度的拓扑指数反问题，图的最小秩与最小斜秩问题，一些结构较简单图的反惯性问题。. 图的拓扑指数反问题主要研究了Kirchhoff指数、Degree resistance distance、Resistance-Harary指数、Schultz指数等。结合了图的结构参数(如半径、最大度、围长等)研究圈秩数k≤3的拓扑指数反问题。. 图的特征值反问题主要研究了图经过幂运算、笛卡尔积、Kronecker乘积、冠积、边冠积运算后图的最小秩、最小斜秩问题。.在本项目的研究中，我们获得了以下重要结果：. 图的拓扑指数极值问题及其反问题方面:. （a）通过图的移接变形技巧给出了单圈图、(n,m)-图的degree resistance distance的极值问题及相关的反问题。. （b）基于Wiener指数与Harary指数的关系，本团队在国际上首次提出了Risistance-Harary指数，对单圈图的Risistance-Harary指数进行了研究，确定具有最小Risistance-Harary指数的单圈图，对单圈图的Risistance-Harary指数的反问题进行了研究。Risistance-Harary指数的提出进一步完善了基尔霍夫(Kirchhoff)指数的研究理论。. （c）研究了三圈图的基尔霍夫(Kirchhoff)指数，确定了最小、第二小Kirchhoff指数的三圈图，并对三圈图的Kirchhoff指数的反问题进行了研究。. （d）研究了三圈图的舒尔茨(Schultz)指数，确定了最小、第二小Schultz指数的三圈图，并对三圈图的Schultz指数的反问题进行了研究。. 最小秩、最小斜秩与反惯性问题方面:图经过一些乘积运算后图的最小秩、最小斜秩问题。. 上述研究内容和所获得的研究成果具有很强的学科交叉性和综合性，并具有广阔的应用前景。