算子自相似过程若干问题的研究

Operator self-similar process is one of the generalizations of self-similar processes. It has attracted a lot of interest recently. In this project, some of operator self-similar processes will be studied. Our studies will focus on the following topics: (1) We will study weak limit theorems for the general operator fractional Brownian motions. (2) We will construct the generalized multiparameter processes of operator fractional Brownian motions, and study their sample properties and weak limit theorems for these generalized processes. (3) We will study the multiparameter operator self-similar random fields in Hilbert space. Moreover, we will present the weak limit theorems for fractional Brownian motions and operator fractional Brownian motions in Hilbert space. Operator self-similar processes are very important in theory and applications. The study of our project can make the theory of operator self-similar processes and their applications more fruitful, and enhance the development of some other related disciplines, such as statistics, finance, and so on.

算子自相似过程作为自相似过程的拓展而引起了人们广泛的关注. 本项目拟利用群论、图论以及概率等相关知识去研究算子自相似过程的若干问题. 我们的研究将重点关注以下几个方面：（1）一般算子分数布朗运动的弱极限定理的研究；（2）算子分数布朗运动多参数拓展过程的构造、性质及弱极限定理的研究；（3）Hilbert空间中多元算子自相似随机场的构造及其性质研究；同时，对于Hilbert空间中分数布朗运动以及算子分数布朗运动弱极限定理展开探讨. 本项目的研究将会丰富算子自相似过程的理论以及其应用研究， 同时也将促进相关学科（统计、金融等）的发展.

自相似过程是在统计上具有尺度不变性的一种随机过程。此类过程在理论和实际中都具有重要的价值。人们对此类过程进行了广泛的研究。算子自相似过程作为自相似过程在多维空间上的一种推广，在金融、排队论及统计等领域的理论与实际应用中也具有重要的意义。算子自相似过程与极限定理之间有着密切联系, 因此，此类过程研究的一个重要方向就是研究与其有关的极限定理。作为分数布朗运动的多维拓展, 算子分数布朗运动是一个典型的算子自相似过程，与其相关的问题引起了人们广泛的关注。本项目的主要研究内容是给出了与算子分数布朗运动相关的一些算子自相似过程的弱极限定理及其一些相关性质。在一定的条件下，在弱收敛意义下，通过随机变量序列构造了算子分数布朗运动及其相关过程的近似随机过程序列，并将获得的理论/方法应用到排队论相关模型的队长平稳分布的尾渐进性以及统计相关问题的研究中。