高雷诺数不可压缩流动参数自适应的并行变分多尺度算法

High Reynolds number incompressible flows are common flow phenomena in real world. This project aims to develop a new parameter-self-adaptive finite element variational multiscale method for simualtion of high Reynolds number incompressible flows. The scale-separation of the flow in this method is implemented via interpolation of polynomials of different orders for finite element discretization. During the solution process of the stabilized nonlinear steady Navier-Stokes equations,the stabilization parameter is adjusted in time to quickly obatin the finite element solution with high accuracy. At the same time, we will develop two classes of parallel parameter-self-adaptive finite element variational multiscale algorithms based on two-grid discretization and fully overlapping domain decomposition, respectively. In the former class of parallel algorithms, we first solve the Navier-Stokes equations on a coarse grid by the developed new parameter-self-adaptive finite element variational multiscale method, and then correct the solution by solving the resultant residual equations on fine grid subdomains in a parallel manner; while in the later class of parallel algorithms, each processor independently computes a local solution in its own subdomain on a locally refined gobal grid by using the developed new parameter-self-adaptive finite element variational multiscale method. By the technical tools of local error estimates for finite element solution, domain decomposition methods, variational multiscale methods and two-grid method, we will theoretically analyze the developed algorithms, and give numerical results to provide references for the applications of computational fluid dynamics in industry.

高雷诺数不可压缩流动是常见的流动现象。本项目拟构造出一种数值模拟高雷诺数不可压缩流动的参数自适应的新型有限元变分多尺度方法，该方法基于有限元插值多项式的阶数实现流场尺度分离，在计算非线性的定常Navier-Stokes方程过程中，适时调整稳定化参数的取值，以快速高效地获得高精度的有限元解。同时分别设计出基于两重网格离散和完全重叠型区域分解的参数自适应的并行变分多尺度算法，前者首先在一粗网格上用参数自适应的新型变分多尺度方法求解Navier-Stokes方程，然后在细网格的子区域上并行求解相应的残差方程以校正粗网格的解；后者每台处理器在一局部加密的全局网格上使用参数自适应的变分多尺度方法相互独立地求解各自子区域的局部有限元解。使用有限元局部误差估计、区域分解、变分多尺度及两重网格方法的理论工具，我们将对算法进行数值分析，同时给出并行数值模拟结果，为计算流体力学在工业部门中的应用提供参考。

高雷诺数不可压缩流动现象普遍存在于自然界和工程技术领域，其研究对我国的经济与国防建设、工业设计具有非常重要的现实意义。使用两重网格的有限元离散方法，本项目首先构造了数值模拟高雷诺数不可压缩流的基于两个Gauss积分和基于亚格子模型的两水平有限元变分多尺度方法。前者使用两个不同阶的Gauss 积分公式计算速度场的梯度，根据两个积分之差来定义稳定项，后者则使用不同阶的有限元插值多项式实现流场尺度分离，建立稳定化模型。该两类方法的稳定项都建立在单一的网格上，较传统的变分多尺度方法简单、高效；同时，可根据网格尺寸和雷诺数的大小，选取不同的稳定化参数，以快速有效地获得高精度的有限元解。其次，我们分别将上述有限元变分多尺度方法与区域分解算法相结合，提出并研究了两类并行有限元变分多尺度算法。第一类方法中，每台处理器首先在一粗网格上求解稳定化的非线性Navier-Stokes系统，然后在细网格的相互重叠的子区域上并行求解稳定化的线性残差方程，利用所得解并行地在互不重叠的子区域上对粗网格解进行校正；该类方法中，粗、细网格使用的稳定化方法及稳定化参数的选取可以不同，具有很大的灵活性。第二类方法中，每台处理器相互独立的用变分多尺度方法在一局部加密的全局多尺度网格上计算所负责子区域的局部有限元解，每台处理器使用的稳定化方法和稳定化参数也可以不同。使用有限元局部误差估计、区域分解、变分多尺度及两重网格方法的理论工具，我们对算法进行了分析，得到了近似解的误差估计，给出了稳定化参数的选取原则及粗、细网格的匹配关系。同时编制有限元程序，进行了一系列数值试验，并与相关算法进行了数值比较，得到了一些重要的理论分析和数值计算结果，可供相关部门参考。本项目发表学术论文11篇（其中SCI收录9篇，EI收录1篇，中文核心1 篇），完成了计划任务书的各项研究内容，取得了预期研究目标。