带有非局部效应的欧拉方程组的整体适定性

This project aims at the global well-posed for a class of Eular systems with non-local interaction and non-local velocity alignment. Such models manifests in macroscopic level the complex systems of motion for microscopic particles, which find wide applications in biology, sociology and other natural sciences..the pedestrian flow model and generalized models in such systems are the two focuses of this project. The non-local term in the pedestrian flow mode presents a variety of complex structures in different situations and correspondingly the singularity in the potential is so strong that it causes the essential difficulties to the research. We will carefully and delicately analyze the structure and function of each part in the model and discuss the effects of non-local velocity alignment and damping on the stability of the model to achieve the global smooth solution of the model. On the other hand, we will analyze the fluid dynamic model with general non-local terms and study the asymptotic stability by focusing the non-local interaction in the compressible non-damping model with velocity alignment. Especially we plan to obtain the global smooth solution of the model by preventing the formation of shock wave though the velocity alignment term We firmly believe our research findings and methodology will enrich the theory of partial differential equations and provide important and practical guidelines for solving problems in applied disciplines.

本项目旨在研究一类带有非局部相互作用和非局部速度趋同效应的欧拉方程组的整体适定性。此类模型是反映复杂系统运动的微观粒子模型的宏观表达，在生物学、社会学以及自然科学中有广泛的应用。. 本项目将分别对此类系统中具体的行人流模型和一般模型进行讨论。行人流模型中的非局部项在不同的环境中呈现多种复杂的结构，且对应的势函数具有很强的奇性，我们将讨论阻尼和速度趋同效应对激波产生的影响，给出行人流模型初值问题光滑解的整体存在性。另一方面，我们还将对含有一般结构非局部项的欧拉方程组进行分析，着重考察在无阻尼的情况下，非局部相互作用力对模型渐近稳定性的影响。同时利用速度趋同效应抑制激波的形成，得到问题的全局光滑解。相信我们的研究结果和方法将丰富偏微分方程理论，并对应用学科中实际问题的解决提供重要参考。

本项目研究了一类带有非局部项的可压缩流体动力学模型。这类模型不同结构的非局部项反映了不同环境下复杂粒子系统中个体的相互作用力和速度趋同效应，具有强的非线性和奇性，给模型整体适定性的研究带来了很大的阻碍。.当非局部项中的通信函数为对称的非常非正定的矩阵时，利用非线性压力项得到密度的低阶耗散估计，并依赖阻尼项克服系统个体间各向异性的相互作用，得到了全空间整体经典解的存在唯一性，并证明了在周期区域内，解在时间上以指数收敛于稳定状态。.当非局部项中的通信函数结构为奇异性更强的分数阶Laplacian算子时，分数阶参数较大时，速度趋同效应反映了粒子内部的粘性性质。有效的控制了非局部效应和压力项的影响后，我们得到了整体解的存在唯一性和长时间行为。特别的，在这种情况下，控制激波产生，阻尼项并不是必须的。本项目还对研究内容进行了拓展，在相关的非线性流体动力学模型的研究上也取得了一定的成果。