基于样条函数的高精度数值方法研究

高精度数值算法是目前科学与工程计算中重要的研究课题之一，本项目基于多元样条函数的分片表示形式，研究高精度数值算法的构造和实现。在结合间断有限元与高阶有限元各自优点的基础上，我们发现利用多元样条函数既可以满足单元内部高精度数值表示的要求，也可以为在单元边界上实现高精度的逼近带来很大方便；利用样条函数的另一个重要特点是能有效减少自由度消耗、提高数值方法的效率。这样，我们不但保持了样条函数天然高效的计算能力，也获得了一类新颖的可比拟于间断有限元方法的高精度数值方法。通过应用于Darcy-Stokes耦合模型和自由界面问题的数值模拟，有效地验证了这类高精度数值算法的可靠性。此外，我们通过c++语言进行模块化程序设计，得到相应的数值算法的一个实现，以便能应用于更多模型问题的数值模拟和方便地进行并行化扩展。

本项目全部资助经费为22万元人民币，至项目结束尚结余1.8163万元人民币，经费执行进度约为92%。在科研论文撰写和科研人才培养两方面取得了一些研究成果。本项目主要研究基于高阶Bernstein多项式及其样条表示下的高精度有限元方法，完成撰写相关研究论文共4篇，其中2篇已经发表于SCI期刊，1篇完成一审并提交修改稿件，1篇已于日前完成并拟投稿。从可持续利用的技术成果方面来看，研究开发了高阶有限元数值计算用的Matlab代码，拟以此为基础进一步开发可用于更大规模问题的有限元软件包KissFEM。其次，在人才培养方面也完成了基本目标，逐步培养课题组研究的新力量。协助培养博士研究生毕业论文2人次，即本课题组成员中的最后两位；此外项目负责人利用本课题资源招收在读博士1名，研究生2名；此外，还利用课题相关的内容为本系研究生每学年开设为期六周的科学计算前沿介绍，主要讲授有限元方法在科学计算中的应用。..本项目的研究使课题组成员都获得了高阶数值方法分析和计算实战的有益经验 。首先完成的是技术性基础工作,即将Bernstein多项式表示的高阶样条有限元数值计算的代码进行了更为合理的封装。接着对几类不同类型的偏微分方程模型进行仔细的数值计算。研究过程中得到了一些否定性结论也是有益的，而大部分肯定性结果已经整理成数篇研究论文，包涵了四个方面的研究成果：首先，提出了一类基于网格非协调剖分的高阶有限元方法，在保证收敛阶的前提下节省10%以上的自由度。为界面问题数值计算提供了一种重要途径，在运算效率上有待于进一步的提高；其次，发展了一类高阶有限元离散的多重空间加速迭代法及其理论估计，能从一定程度上缓解高阶有限元计算开销大的困难；第三，构造了一类求解固定界面问题的二阶等参元方法，可实现带间断系数的椭圆边值问题求解的二阶精度； 最后，我们考察了一类用三次样条表示的血管外形的形状优化数值算法，这一方法不仅能减少流体问题数值计算的工作量，更重要的是可以得到一个用样条函数表示的最优化血管形状，结果好于传统的高次多项式表示。