变指数空间上Littlewood-Paley算子及相关算子的研究与应用

The core of the project is to study the the boundedness and weighted estimates of Littlewood-Paley operators and related operators on spaces with variable exponent, as well as the Littlewood-Paley characterizations of these spaces with variable exponent and their applications to the well-posedness of the solutions for the fractional order incompressible Navier-Stokes equations. Specifically, we will study the following questions in the project. (1) The boundedness and weighted estimates of Littlewood-Paley operators on spaces with variable exponent; (2) the boundedness and weighted estimates of parameterized Littlewood-Paley operators with rough kernel on spaces with variable exponent; (3) the boundedness and weighted estimates of Marcinkiewicz integrals on spaces with variable exponent; (4) The boundedness for the commutators of Littlewood-Paley operators on spaces with variable exponent; (5) Several problems on spaces with variable exponent in nonhomogeneous space; (6) Sharp bounds and functions on Lebesgue spaces with variable exponent; (7) The well-posedness of the solutions for the fractional order incompressible Navier-Stokes equations on spaces with variable exponent.

Littlewood-Paley 算子及相关算子在各类变指数函数空间上的有界性和加权估计, 变指数函数空间的Littlewood-Paley刻画, 以及分数阶不可压缩 Navier-Stokes 程在此类函数空间中解的适定性是本项目研究的核心内容. 具体将研究下面几个问题. (1) Littlewood-Paley算子在变指数函数空间上的有界性和加权估计; (2) 参数型粗糙核 Littlewood-Paley 算子在变指数空间上的有界性和加权估计; (3) Marcinkiewicz积分在变指数空间上的有界性和加权估计; (4) Littlewood-Paley交换子在变指数函数空间上的有界性; (5) 非齐型空间上变指数函数空间的若干问题; (6) 变指数 Lebesgue 空间上最优界及最值函数问题; (7) 分数阶不可压缩Navier-Stokes方程在变指数空间上解的适定性.

系统研究了Littlewood-Paley算子及交换子在各类函数空间上的有界性, 并研究了Marcinkiewicz 积分、Lusin 面积积分以及相应的交换子在变指标变指标 Morrey 空间、变指标 Morrey-Herz 空间上的有界性和加权估计. 得到了Calderon-Zygmund 算子和分数次积分交换子在齐型极大变指标 Lebesgue 空间和变指标Herz 空间的有界性；得到了Littlewood-Paley 算子及其交换子、Marcinkiewicz 积分算子、极大函数等在非齐性度量测度 Morrey 空间上的有界性；证明了变量核奇异积分和分数次微分在加权Morrey-Herz 空间和在变指标 Morrey-Herz 型 Hardy 空间上的有界性和弱估计；得到了一类变量核奇异积分交换子在 Morrey 空间中的紧性； 证明了分数阶 Marcinkiewicz 积分算子在变指标 Morrey-Herz 空间的有界性；得到了多线性分数次积分和极大算子在 Morrey 空间上的加权估计以及 Hormander 象征的双线性拟微分交换子在广义 Morrey 空间上的有界性和变量核 Marcinkiewicz 积分算子在变指标 Herz 型 Hardy 空间上的有界性和非齐性度量测度空间上的 Lebesgue 空间和Morrey空间上的有界性； 证明了theta-型Calderon-Zygmund算子在变指数Lebesgue 和变指数Morrey空间, 加权变指数 Herz 空间和 Herz-Morrey空间上的有界性；证明了变量核Marcinkiewicz积分在变指Herz-Morrey空间上的加权估计和变量核分数次积分及其交换子在变指数Morrey空间上的弱估计. 在高维空间上得到了振荡积分算子的有界性问题，彻底解决了Selberg积分公式成立的充要条件. 得到了两类色散方程和分数阶Schrödinger equation极大解算子的整体估计.