Willmore型子流形的Moebius几何理论和方法

高阶Willmore子流形是子流形的共形几何中新的研究对象，由项目申请人2007年提出并进行了初步研究；本项目将经典Willmore子流形和高阶Willmore子流形统一起来（称为Willmore型子流形）系统研究。由于在外围空间是常曲率空间的情形，Willmore型子流形是Moebius群作用下不变的对象，本项目将Willmore型子流形统一在子流形的Moebius几何基本理论框架下研究。主要研究内容包括：(1)在Moebius基本不变量适合一定条件下的Willmore型子流形的分类，重点研究具有闭Moebius形式的Willmore型子流形；（2）Willmore型子流形稳定性问题；（3）Willmore型子流形的形变与共形刚性问题；（4）与Willmore型浸入对应的广义共形高斯映射的建立及其调和性与子流形的关系。以期形成一个较为系统、完整的Willmore型子流形几何基本理论。

广义（包括高阶） Willmore 子流形是子流形的共形几何中新的研究对象,本项目将经典 Willmore 子流形和高阶 Willmore 子流形统一起来(称为 Willmore 型子流 形)系统研究。由于在外围空间是常曲率空间的情形,Willmore 型子流形是 Moebius 群作用下不变的对象,本项目将 Willmore 型子流形统一在子流形的 Moebius 几何基本理论框架下研究。主要研究内 容为在 Moebius 基本不变量适合一定条件下的 Willmore 型子流形的分类,重点研究具有闭 Moebius 形式的 Willmore 型子流形; Willmore 型子流形的形变与共形刚性问题等。. 本项目获得的结果如下：完全分类了具3个常Moebius主曲率的闭Moebius形式超曲面，并给出了新的Willmore超曲面的例子。完全分类了3维欧氏空间中具闭Moebius形式的等温曲面；特别地，指出了3维欧氏空间中具闭Moebius形式的等温Willmore曲面是由自由弹性曲线生成的，确定到一个Moebius变换。.给出了紧致Willmore超曲面上的积分不等式，并刻画了等号成立的超曲面，从而刻画了Willmore环的共形类。